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| Autor |
 Quotient der laufenden Summen von Primzahlen, Grenzwert |
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OlgaBarati
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Sei $\mathbb{P}_0$ die Menge mit den ersten 4 Primzahlen.
\[\mathbb{P}_0:=\lbrace2,3,5,7\rbrace\]
Dann hat diese Menge $\mathbb{P}_0$ genau 4 Elemente.
\[\vert\mathbb{P}_0\vert=4\]
Sei $\mathbb{P}_1$ die Menge der laufenden Summen von $\mathbb{P}_0$
\[0+2=2\]
\[2+3=5\]
\[5+5=10\]
\[10+7=17\]
\[\mathbb{P}_1:=\lbrace2,5,10,17\rbrace \]
A007504
und sei $\mathbb{P}_2$ die Menge der Primfaktoren aller Elemente von $\mathbb{P}_1$.
\[2:(2)\]
\[5:(5)\]
\[10:(2,5)\]
\[17:(17)\]
\[\mathbb{P}_2:=\lbrace2,5,17\rbrace\]
Dann hat diese Menge $\mathbb{P}_2$ genau 3 Elemente.
\[\vert\mathbb{P}_2\vert=3\]
Bildet man nun den Quotient $q$ aus $\vert\mathbb{P}_2\vert$ und $\vert\mathbb{P}_0\vert$ so ergibt sich:
\[q = \frac{\vert\mathbb{P}_2\vert}{\vert\mathbb{P}_0\vert}= \frac{3}{4}=0.75\]
Wählt man nun anstelle von $\mathbb{P}_0$ die unendliche Menge der Primzahlen $\mathbb{P}$,
so scheint sich, nach ersten Beobachtungen, auch da mit wachsender Summe ein beidseitiger Grenzwert $q=0.75$ zu ergeben.
Was mich dabei interessieren würde ist, ob sich $q$ mit wachsender Anzahl von Primzahlen tätsächlich diesem Wert $q=0.75$ immer genauer nähert oder nicht.
Habe mal eine Probe mit den Primzahlen von 2 bis 999983 gemacht.
Es ergibt sich da $q \approx 0.7507$
Größere Zahlen kann ich mit meinem Rechner kaum untersuchen oder
wüsste da jemand einen effizienteren Weg ?
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thureduehrsen
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-08
|
\quoteon(2023-02-08 12:20 - OlgaBarati im Themenstart)
Größere Zahlen kann ich mit meinem Rechner kaum untersuchen oder
wüsste da jemand einen effizienteren Weg ?
\quoteoff
Wieso solltest du nicht z.B. ein Python-Programm schreiben können, das problemlos mit beliebig großen Zahlen rechnen kann?
mfg
thureduehrsen
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OlgaBarati
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
|
\quoteon(2023-02-08 12:26 - thureduehrsen in Beitrag No. 1)
\quoteon(2023-02-08 12:20 - OlgaBarati im Themenstart)
Größere Zahlen kann ich mit meinem Rechner kaum untersuchen oder
wüsste da jemand einen effizienteren Weg ?
\quoteoff
Wieso solltest du nicht z.B. ein Python-Programm schreiben können, das problemlos mit beliebig großen Zahlen rechnen kann?
mfg
thureduehrsen
\quoteoff
Eine Vorlage, wie so ein Programm aussieht, wäre mir eine tolle Hilfe.
Mein Programm benötigt bis 10^5 ca. 3.85 s und für 10^6 bereits ca. 277.50 s. Daher ist für z.B 10^12 eine mir zu lange Wartezeit von vielleicht vielen Tagen nötig.
\showon
Auch der exakte Wert q=0.75 taucht immer wieder auf.
\sourceon text
Elemente: 78498
exact 7 3 4 0.75
exact 53 12 16 0.75
exact 193 33 44 0.75
exact 1223 150 200 0.75
exact 1571 186 248 0.75
exact 129499 9090 12120 0.75
exact 129581 9096 12128 0.75
exact 129607 9099 12132 0.75
exact 129733 9105 12140 0.75
exact 129901 9114 12152 0.75
exact 130079 9126 12168 0.75
exact 130127 9129 12172 0.75
exact 130199 9132 12176 0.75
exact 130241 9135 12180 0.75
exact 130267 9138 12184 0.75
exact 130649 9165 12220 0.75
exact 130687 9168 12224 0.75
exact 131303 9201 12268 0.75
exact 136481 9534 12712 0.75
exact 136601 9543 12724 0.75
exact 136693 9549 12732 0.75
exact 136733 9552 12736 0.75
exact 136993 9570 12760 0.75
exact 137087 9573 12764 0.75
exact 137131 9576 12768 0.75
exact 137201 9582 12776 0.75
exact 137791 9618 12824 0.75
exact 138493 9663 12884 0.75
exact 138547 9666 12888 0.75
exact 138571 9669 12892 0.75
exact 138599 9672 12896 0.75
exact 138641 9675 12900 0.75
exact 138763 9681 12908 0.75
exact 138959 9693 12924 0.75
exact 139109 9699 12932 0.75
exact 139201 9705 12940 0.75
exact 139291 9708 12944 0.75
exact 139309 9711 12948 0.75
exact 139343 9714 12952 0.75
exact 139423 9720 12960 0.75
exact 139501 9726 12968 0.75
exact 139571 9729 12972 0.75
exact 141653 9864 13152 0.75
exact 141803 9876 13168 0.75
exact 143609 9984 13312 0.75
exact 143653 9987 13316 0.75
exact 144427 10032 13376 0.75
exact 144479 10035 13380 0.75
exact 145283 10083 13444 0.75
exact 146677 10173 13564 0.75
exact 147377 10218 13624 0.75
exact 147457 10224 13632 0.75
exact 147863 10251 13668 0.75
exact 148079 10260 13680 0.75
exact 148207 10269 13692 0.75
exact 149161 10332 13776 0.75
exact 149213 10335 13780 0.75
exact 149803 10374 13832 0.75
exact 149861 10377 13836 0.75
exact 150211 10401 13868 0.75
exact 150301 10407 13876 0.75
exact 150373 10410 13880 0.75
exact 150551 10422 13896 0.75
exact 150587 10425 13900 0.75
exact 150959 10446 13928 0.75
exact 193951 13122 17496 0.75
exact 194141 13134 17512 0.75
exact 194197 13137 17516 0.75
exact 194707 13161 17548 0.75
exact 194809 13167 17556 0.75
exact 197063 13305 17740 0.75
exact 197101 13308 17744 0.75
exact 197651 13344 17792 0.75
exact 200183 13500 18000 0.75
exact 201829 13599 18132 0.75
exact 201919 13605 18140 0.75
exact 201953 13608 18144 0.75
exact 202087 13617 18156 0.75
exact 202201 13623 18164 0.75
exact 209227 14052 18736 0.75
exact 422099 26661 35548 0.75
exact 422129 26664 35552 0.75
exact 422291 26673 35564 0.75
exact 429679 27099 36132 0.75
exact 430427 27141 36188 0.75
exact 430499 27144 36192 0.75
exact 430543 27147 36196 0.75
exact 430589 27150 36200 0.75
exact 430663 27153 36204 0.75
exact 651461 39696 52928 0.75
exact 651727 39708 52944 0.75
exact 653197 39795 53060 0.75
exact 653243 39798 53064 0.75
exact 653311 39801 53068 0.75
exact 653363 39804 53072 0.75
exact 653491 39807 53076 0.75
exact 663977 40398 53864 0.75
exact 663997 40401 53868 0.75
exact 665279 40479 53972 0.75
exact 666067 40521 54028 0.75
exact 666091 40524 54032 0.75
exact 666143 40527 54036 0.75
exact 666889 40566 54088 0.75
exact 667211 40581 54108 0.75
exact 670147 40740 54320 0.75
exact 673921 40956 54608 0.75
exact 677011 41127 54836 0.75
exact 679051 41238 54984 0.75
exact 679691 41274 55032 0.75
exact 679741 41277 55036 0.75
exact 679897 41289 55052 0.75
exact 679933 41292 55056 0.75
exact 684163 41529 55372 0.75
exact 684293 41535 55380 0.75
exact 684347 41538 55384 0.75
exact 684493 41547 55396 0.75
exact 684559 41550 55400 0.75
exact 684599 41553 55404 0.75
exact 684769 41562 55416 0.75
exact 684949 41571 55428 0.75
exact 685039 41577 55436 0.75
exact 704647 42672 56896 0.75
exact 705989 42747 56996 0.75
Quotient: 0.7507 999983
277.125s
\sourceoff
\showoff
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Profil
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thureduehrsen
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Dabei seit: 13.11.2007
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-08
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Wir sollten zunächst mal genau klären, was du berechnen willst.
Anstelle von \(\mathbb{P}_0\), \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\) schlage ich die Bezeichnungen \(P_i\), \(R_i\) und \(F_i\) vor.
Für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\) sei mit \(p_i\) die \(i\)-te Primzahl bezeichnet.
Dann: \(P_i:=\{p_i:i\in\{1,\,\ldots,\,i\}\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\)
\(R_i:=\biggl\{\displaystyle
\sum_{j\in\{1,\,\ldots,\,i\}}{p_j}\biggr\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\)
\(F_i:=\{
p \in\mathbb{P} : \quad\exists\, k\in\{1,\,\ldots,\,i\}\quad \exists\, s\in R_k\quad p\mid s
\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\)
Dann ist \(\displaystyle\lim_{i\to\infty}\frac{\lvert F_i \rvert}{\lvert P_i \rvert} =
\displaystyle\lim_{i\to\infty}\frac{\lvert F_i \rvert}{i}
\) gesucht.
Stimmt das soweit?
Ich vermute mal, dass man mit der Python-Bibliothek SymPy hier recht weit kommt.
Wie arbeitet denn dein Programm bisher?
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
|
Profil
|
OlgaBarati
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
|
\quoteon(2023-02-08 14:50 - thureduehrsen in Beitrag No. 3)
Wir sollten zunächst mal genau klären, was du berechnen willst.
Anstelle von \(\mathbb{P}_0\), \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\) schlage ich die Bezeichnungen \(P_i\), \(R_i\) und \(F_i\) vor.
Für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\) sei mit \(p_i\) die \(i\)-te Primzahl bezeichnet.
Dann: \(P_i:=\{p_i:i\in\{1,\,\ldots,\,i\}\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\)
\(R_i:=\biggl\{\displaystyle
\sum_{j\in\{1,\,\ldots,\,i\}}{p_j}\biggr\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\)
\(F_i:=\{
p \in\mathbb{P} : \quad\exists\, k\in\{1,\,\ldots,\,i\}\quad \exists\, s\in R_k\quad p\mid s
\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}_{>0}\)
Dann ist \(\displaystyle\lim_{i\to\infty}\frac{\lvert F_i \rvert}{\lvert P_i \rvert} =
\displaystyle\lim_{i\to\infty}\frac{\lvert F_i \rvert}{i}
\) gesucht.
Stimmt das soweit?
\quoteoff
Ja, $F_i$ enthält all die Primzahlen, die mindestens eine der Summen $R_k$ teilen.
\showon So ungefähr sieht das Programm aus.
\sourceon python
from sympy import primerange, primefactors
pst = list(primerange(0, 100))
s = 0
rst= []
ctp = []
for p in pst:
ctp.append(p)
ctl = len(ctp)
s += p
ps = primefactors(s)
for m in ps:
rst.append(m)
ct = len(list(set(rst)))
qc = ct / ctl
print('Quotient:%9.4f' % (qc), p)
\sourceoff
\showoff
|
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OlgaBarati
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Mitteilungen: 225
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
|
Wikipedia
Mit $x=10^{29}$ ergibt sich für $\pi(x)= i=1.520.698.109.714.272.166.094.258.063$
Wenn jetzt einer zeigen kann dass $F_i\approx 1.140.523.582.285.704.124.570.693.547 $ ist, wäre ich schon fast zufrieden 🙂.
Intuitiv vermute ich, dass $q\approx 0.75$ eine Konstante ist, die für die Summe aller Primzahlen von $p_1=2\dots \infty$
gültig ist.
Auch belegen numerische Untersuchugen bis $10^8$ diese Vermutung. Und außerordentlich ist es bestimmt: Es existiert vermutlich eine Konstante im Reich der Primzahlen.
|
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willyengland
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-09
|
Das ist die bekannte Olga-Barati-Konstante, über die man bisher sehr wenig weiß, nicht mal, ob sie rational oder irrational ist, geschweige denn transzendent.
Als Entdecker darfst du dir ein Symbol ausdenken.
|
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-09
|
An deinem Programm aus No. 4 fällt mir auf, dass du die Zeile
\sourceon Python
ctl = len(ctp)
\sourceoff
durch
\sourceon Python
ctl += 1
\sourceoff
ersetzen können solltest. Das erspart dir das wiederholte Berechnen der Listenlänge.
Dann nimm noch das print-Statement aus der Hauptschleife heraus und drucke nur am Ende eine einzige Zeile aus.
Dann brauchen wir die Länge der Liste pst auch nur einmal zu berechnen, genauso wie den Quotienten qc.
\sourceon Python
from sympy import primerange, primefactors
maximum = 10000
pst = list(primerange(0, maximum))
s = 0
rst= []
ctp = []
ctl=len(pst)
for p in pst:
ctp.append(p)
s += p
ps = primefactors(s)
for m in ps:
rst.append(m)
ct = len(list(set(rst)))
print('Letzter Quotient:%9.4f' % (ct/ctl))
\sourceoff
Wie man aber nun mathematisch anstelle von programmiertechnisch weiterkommt, dazu kann ich noch nichts sagen.
mfg
thureduehrsen
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