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  Gruppe der Ordnung 5 |
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dbrust_2000
Aktiv 
Dabei seit: 22.01.2007
Mitteilungen: 302
 |  Themenstart: 2023-02-08
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Hallo zusammen,
wie kann ich herausfinden, ob eine Verknüpfungstafel zu einer Gruppe gehört?
Ich habe hier folgende Verknüpfungstafel, die nicht zu \mathbb{Z}_{5}
gehört:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/16731_Gruppe5.png
-Verknüpfung ist abgeschlossen
-es gibt neutrales Element
-zu jedem Element gibt es ein Inverses
also muss die Verknüpfung doch irgendwo nicht assoziativ sein. Aber da finde ich kein Beispiel.
könnt ihr mir helfen?
Liebe Grüße
dbrust_2000
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
man hat hier tatsächlich Assoziativität und muss einfach die Elemente umbenennen (mit Ausnahme des neutralen Elements), denn mit der Assoziativität ist klar, dass das Ding isomorph zu \(\IZ_5\) sein muss.
Vertausche einmal die Bezeichnungen der Elemente 2 und 3, dann solltest du eine Verknüpfungstafel von \(\IZ_5\) erhalten...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-08
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\quoteon(2023-02-08 20:50 - dbrust_2000 im Themenstart)
also muss die Verknüpfung doch irgendwo nicht assoziativ sein. Aber da finde ich kein Beispiel.
\quoteoff
Hallo,
wieso soll denn die Verknüpfung nicht assoziativ sein? Vielleicht handelt es sich ja doch um eine Gruppe-
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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dbrust_2000
Aktiv 
Dabei seit: 22.01.2007
Mitteilungen: 302
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-09
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Dann habe ich das hoffentlich so richtig gemacht:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/16731_Gruppe5neu.png
@Diophant: Wie hast Du so schnell erkannt, dass 2 und 3 die Rollen tauschen
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-09 12:19 - dbrust_2000 in Beitrag No. 3)
@Diophant: Wie hast Du so schnell erkannt, dass 2 und 3 die Rollen tauschen
\quoteoff
Um ehrlich zu sein: der Gedanke, dass die Struktur bis auf die Benennung ihrer Elemente zu \(\IZ_5\) isomorph ist, lag ja nahe, da ich auch kein Gegenbeispiel für die Assoziativität entdecken konnte.
Wenn man genau hinsieht, dann fällt auf, dass die Verknüpfungen der 1 und der 4 mit sich selbst, aber auch untereinander passen. Auch alle, an denen das Element e beteiligt ist, das man ja unschwer als neutrales Element erkennt. Also lag diese Vertauschung nahe. Ich habe sie dann noch mit Hilfe einer Tabellenkalkulation überprüft.
Also: Glück, scharfes Hinsehen und das passende Tool. Von allem ein bisschen. 😉
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1418
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-09
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Etwas off-topic:
\showon
\quoteon(2023-02-09 12:32 - Diophant in Beitrag No. 4)
Also lag diese Vertauschung nahe. Ich habe sie dann noch mit Hilfe einer Tabellenkalkulation überprüft.
\quoteoff
Gruppentafeln per Tabellenkalkulation? Mit völlig allgemein benannten Elementen?
Wie kriegt man das halbwegs elegant hin, ohne dass die Formeln kilometerlang werden?
\showoff
mfg
thureduehrsen
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Profil
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10522
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-09
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@thureduehrsen:
\quoteon(2023-02-09 12:39 - thureduehrsen in Beitrag No. 5)
Gruppentafeln per Tabellenkalkulation? Mit völlig allgemein benannten Elementen?
Wie kriegt man das halbwegs elegant hin, ohne dass die Formeln kilometerlang werden?
\quoteoff
Eine Liste mit den Elementen in fünf Zellen, dann alle Einträge der Verknüpfungstabelle per Formel aus dieser Liste holen.
Dann braucht man nur die Elemente in der ursprünglichen Liste umbenennen und alle Einträge der Tabelle machen das automatisch mit.
Das geht bei einer kleinen Tabelle so wie hier per Copy&Paste sehr schnell, für größere Tabellen wäre es sicherlich nicht praktikabel.
Ich war zu faul, es handschriftlich zu überprüfen, das ist der ganze Hintergrund. 😁
Gruß, Diophant
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-09
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\quoteon(2023-02-09 12:19 - dbrust_2000 in Beitrag No. 3)
@Diophant: Wie hast Du so schnell erkannt, dass 2 und 3 die Rollen tauschen
\quoteoff
Ich hatte mir den Zyklus der 1 angeschaut:
1°1 = 3
1°3 = 2
1°2 = 4
1°4 = e
Also (1, 3, 2, 4, e)
Das legt dann nahe, (1, 3, 2, 4, e) durch (1, 2, 3, 4, 0) zu ersetzen.
Folgendes wäre auch gegangen:
2°2 = 1
2°1 = 4
2°4 = 3
2°3 = e
Man könnte also auch (2, 1, 4, 3, e) durch (1, 2, 3, 4, 0) ersetzen und müsste dann ebenfalls auf die bekannte Verknüpfungstafel kommen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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dbrust_2000
Aktiv
Dabei seit: 22.01.2007
Mitteilungen: 302
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-09
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Ah, ok, man sieht es also nicht sofort. Man muss sich da schon was überlegen. Vielen Dank
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dbrust_2000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
dbrust_2000 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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