| |
| Autor |
  Grenzwert mit l'Hospital |
|
mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
 |  Themenstart: 2023-02-15
|
Hallo zusammen!
Zu zeigen ist: \(\lim \limits_{x \to \infty}x \cdot (a^{1/x}-1)=ln(a)\).
Meine Vorgehensweise:
\(\lim \limits_{x \to \infty}x \cdot (a^{1/x}-1)\\
=\lim \limits_{x \to \infty}\frac{(a^{1/x}-1)}{1/x}\\
(LH)=\lim \limits_{x \to \infty}\frac{(1/x) \cdot a^{(1-x)/x}}{-1/x^2}\\
=\lim \limits_{x \to \infty}-x \cdot a^{(1-x)/x}\)
-x geht gegen minus Unendlich, \(a^{(1-x)/x}\) geht gegen \(a^{-1}\).
Da a konstant ist, geht das Ganze also (nach dieser Logik) gegen minus unendlich.
L'Hospital darf ich ja auch anwenden, da ich mithilfe des ersten Gleichzeichens eine "0/0"-Situation erzeugt habe, oder?
Wo steckt mein Denkfehler?
Viele Grüße und Danke!
Max
|
 Profil
|
MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3320
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-15
|
Hallo mhipp,
die Ableitung des Zählers ist falsch. Es ist
$$a^{\frac 1x}=\left(e^{\ln a}\right)^{\frac 1x}=e^{\frac 1x\ln a}$$
Ciao,
Thomas
|
Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-15
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo mhipp,
wenn ich nichts übersehen habe, ist dir einfach beim Ableiten des Zählers bei der Anwendung der Kettenregel ein Fehler unterlaufen: du multiplizierst mit dem Exponenten, anstatt mit seiner Ableitung (der Exponent ist hier ja innere Funktion!).
Und der Faktor \(\ln a\), der aus der Umwandlung in eine e-Funktion resultieren muss, fehlt ebenso (siehe dazu den vorigen Beitrag).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)
|
Profil
|
PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2811
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-15
|
\quoteon(2023-02-15 10:17 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo mhipp,
wenn ich nichts übersehen habe, ist dir einfach beim Ableiten des Zählers bei der Anwendung der Kettenregel ein Fehler unterlaufen: du multiplizierst mit dem Exponenten, anstatt mit seiner Ableitung (der Exponent ist hier ja innere Funktion!).
\quoteoff
Der Irrtum scheint hier zu sein, dass die Potenzregel angewendet wurde, um $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} a^{\frac{1}{x} - 1} \equiv \frac{1}{x} a^{\frac{1-x}{x}}$ zu schließen. Das ist aber natürlich nicht korrekt, denn $x\mapsto a^x = e^{x\cdot\ln a}$ ist keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion.
Grüße,
PhysikRabe
|
Profil
|
mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 470
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-15
|
Oh nein, wie peinlich! Ich habe die Potenzregel angewandt, als wäre im Exponenten eine Konstante...
So passt dann natürlich alles (\(-\frac{1}{x^2}\) kürzt sich raus, übrig bleibt der Grenzwert von \(ln(a) \cdot a^{1/x}\), dieser beträgt offensichtlich \(ln(a)\)), danke!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
|
Profil
|
mhipp hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mhipp hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | mhipp wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
