| Autor |
 Winkel gesucht (Lösungsweg) |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2023-03-13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Matheplanetarier
Man betrachte die folgende Skizze. Gesucht ist das Winkelmass von $\alpha$ in Grad:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52918_Winkelbild.png
Definiere folgende Winkel:
\[
\begin{align*}
\beta &:= \angle ABD \\
\gamma &:= \angle BCM \\
\end{align*}
\]
Dann machen wir folgende Feststellungen:
(1) $\overline{BM}$ steht senkrecht auf $\overline{AB}$, womit $4\alpha + \gamma = 90°$.
(2) $B,C,D$ sind Kreispunkte und somit die Dreiecke $\Delta BMD$ und $\Delta CMB$ gleichschenklig.
(3) Der Satz von Thales liefert $\angle DBC = 90°$.
(4) Der gestreckte Winkel in $B$ liefert $4\alpha + \beta + 90° = 180°$. Damit sind $\beta=90°-4\alpha$ und $\gamma$ gleich gross.
(5) Die Winkelsumme im Dreieck $\Delta ABC$ liefert dann die Lösung:
\[
\begin{align*}
180°
&= \alpha + \beta + 90°+ \gamma \\
&= \alpha + (90° - 4 \alpha) + 90°+ (90° - 4\alpha) \\
&= 270° - 7\alpha \\
\implies \alpha &= \frac{90°}{7} \approx 12.8°.
\end{align*}
\]
Ich danke für Verbesserungsvorschläge bezüglich der Eleganz des Lösungswegs.🤗
LG Phoensie\(\endgroup\)
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Knaaxx
Senior 
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-13
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Hallo,
90 - 3*alpha = 4*alpha
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-13
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\quoteon(2023-03-13 13:19 - Phoensie im Themenstart)
Dann machen wir folgende Feststellungen:
(1) $\overline{BM}$ steht senkrecht auf $\overline{AB}$,
\quoteoff
Steht das in der Aufgabenstellung? Oder stellen wir das mit "Augenmaß" fest?
\quoteon(2023-03-13 13:19 - Phoensie im Themenstart)
womit $4\alpha + \gamma = 90°$.
\quoteoff
Anderseits ist \(\gamma=3\alpha\) sofort nach Außenwinkelsatz klar. Damit ist man ja denn direkt fertig.
Gruß,
Küstenkind
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-13
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Für BM "nicht senkrecht" gibts unendlich viele Lösungen
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-13
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Das ist mir klar. Ich kannte nur die Regel "Sämtliche Voraussetzungen innerhalb einer Mathematik-Aufgabe sind stets so zu wählen, dass die Aufgabe eindeutig lösbar ist." nicht. Wäre es denn zu viel verlangt in der Zeichnung noch den rechten Winkel einzuzeichnen?
Gruß,
Küstenkind
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cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2216
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-13
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Grüße in den Aargau! 😉
(1) \(\beta_1\;:=\;\angle ABM\;=\;90°\) (Kreisradius und Tangente)
(2) \(\beta_2\;:=\;\angle ABC\;=\;180°\,-\,4\cdot\alpha\) (Nebenwinkel)
(3) \(\gamma\;:=\;\angle BCA\;=\;180°\,-\,\alpha\,-\,\beta_2\;=\;3\cdot\alpha\) (Winkelsumme)
(4) \(\mu\;:=\;\angle BMA\;=\;2\cdot\gamma\;=\;6\cdot\alpha\) (Peripherie- und Zentriwinkel)
(5) \(\alpha\,+\,\mu\;=\;7\cdot\alpha\;=\;180°\,-\,\beta_1\;=\;90°\) \(\Leftrightarrow\) \(\alpha\;=\;\frac{90°}{7}\)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8276
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-13
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\quoteon(2023-03-13 15:46 - Kuestenkind in Beitrag No. 2)
\quoteon(2023-03-13 13:19 - Phoensie im Themenstart)
Dann machen wir folgende Feststellungen:
(1) $\overline{BM}$ steht senkrecht auf $\overline{AB}$,
\quoteoff
Steht das in der Aufgabenstellung? Oder stellen wir das mit "Augenmaß" fest?
\quoteoff
Hallo Küstenkind,
normalerweise bin ich bei so etwas ebenfalls pingelig. Aber hier handelt es sich doch um die Verbindung des Kreismittelpunkts mit der Tangente des Kreises. Und die stehen beide immer senkrecht aufeinander. (Oder hätte man in der Aufgabenstellung erwähnen sollen, dass es sich bei dem runden Ding um einen Kreis und bei dem Strich unten um die Tangente handelt?)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-13
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\quoteon(2023-03-13 19:27 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6)
Aber hier handelt es sich doch um die Verbindung des Kreismittelpunkts mit der Tangente des Kreises.
\quoteoff
Das wäre doch eine schöne Möglichkeit die Aufgabe eindeutig zu machen. Dann hätte man eine Voraussetzung (laut Aufgabenstellung) und könnte - so wie du es ja getan hast - sauber argumentieren. Etwas überspitzt könnte ich ja auch dieses Bild vorgeben:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/45489_Bildschirm_foto_2023-03-13_um_19.40.19.png
Sieht doch auch erstmal tangential aus, oder nicht?
Mein Standpunkt - sofern nur das Bild vorgegeben ist: Man kann die Orthogonalität nicht feststellen. Man kann schreiben "Ich setzte Orthogonaliät voraus." - und die Aufgabe nach dieser Voraussetzung lösen. Aber ich verstehe nicht, wieso der Aufgabensteller dies nicht (in welcher Form auch immer) selbst tut. Ich predige meinen Schülern jedenfalls immer, dass man mit Augenmaß nicht in der Geometrie auf etwas schließen darf.
Gruß,
Küstenkind
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-13
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Das Problem ist mitunter ja dadurch enstanden, dass der Fragesteller selbst das in den Raum gestellt hat. Er war sich nicht sicher.
Ich sehr das so.
Wenn nichts näheres dabeisteht, darf auf Basis der Skizze unterstellt werden, dass der Kreis AB tangiert. Weiteres braucht es dazu nicht.
Soll diese Annahme ausgeschlossen sein, muss diesbezüglich etwas angeführt sein.
Das explizite nicht aufzeigen des rechten Winkels, gehört mit zur Aufgabe.
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cramilu
Aktiv
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-13
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😲 Streit unter Senioren? 😲
😃 Keep smiling!
Wenn man es ganz genau nimmt, braucht es zu der
Skizze sogar drei Annahmen bzw. Voraussetzungen:
1. \(B\), \(C\) und \(D\) liegen auf Kreis um Mittelpunkt \(M\).
2. \(C\) und \(D\) liegen auf Gerade \(AM\).
3a. Gerade \(AB\) berührt den Kreis in \(B\).
oder 3b. \(\beta_1\;:=\;\angle ABM\;=89°\) (bzw. ähnlich 'schön')
Wer unter uns hätte je seinen (Nachhilfe-)Schülern
ausnahmslos Aufgaben gestellt, die von ihrer Formu-
lierung her stets über jeden Zweifel erhaben waren?
Sogar der große Euklid war bis Hilbert 'ungeschoren'
mit intuitiven Annahmen 'davongekommen'. 😉
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-13
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\quoteon(2023-03-13 21:00 - cramilu in Beitrag No. 9)
😲 Streit unter Senioren? 😲
\quoteoff
Wer streitet hier?
\quoteon(2023-03-13 21:00 - cramilu in Beitrag No. 9)
Wenn man es ganz genau nimmt, braucht es zu der
Skizze sogar drei Annahmen bzw. Voraussetzungen:
\quoteoff
Nun - wo die Punkte liegen, dafür gibt es ja durchaus Standard-Annahmen. Siehe z. B. den letzten Absatz hier:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/45489_Bildschirm_foto_2023-03-13_um_21.16.54.png
Sätze wie "Sehen zwei Linien senkrecht aus, so ist hier ein rechter Winkel anzunehmen. Ansonsten muss dies widerlegt werden." habe ich jedoch noch nirgendwo gelesen.
Aber gut - man muss ja auch nicht immer einer Meinung sein. Ich habe dazu nun aber alles gesagt.
\quoteon(2023-03-13 20:17 - Knaaxx in Beitrag No. 8)
Das Problem ist mitunter ja dadurch enstanden, dass der Fragesteller selbst das in den Raum gestellt hat. Er war sich nicht sicher.
\quoteoff
Davon weiß ich nichts.
Gruß,
Küstenkind
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8276
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-13
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\quoteon(2023-03-13 21:28 - Kuestenkind in Beitrag No. 10)
\quoteon(2023-03-13 21:00 - cramilu in Beitrag No. 9)
😲 Streit unter Senioren? 😲
\quoteoff
Wer streitet hier?
\quoteoff
Das wollte ich bestimmt nicht! Tut mir leid, wenn das jemand so verstanden haben sollte!
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-14
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\quoteon(2023-03-13 19:53 - Kuestenkind in Beitrag No. 7)
Etwas überspitzt könnte ich ja auch dieses Bild vorgeben:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/45489_Bildschirm_foto_2023-03-13_um_19.40.19.png
\quoteoff
Küstenkind, so etwas habe ich mir eben zuerst auch gedacht, und dann einfach die Orthogonalität angenommen, um eine Lösung fertigstellen zu können.😃
Danke an alle für euer Feedback und die sehr interessante Diskussion zur Aufgabe!👍🤗
LG Phoensie
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ebikerni
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-14
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Hallo,
ich konnte auch den Winkel Alpha = 12,85714286 ( = 90/7) bestimmen.
Aber alle und Ich konnten den Winkel Alpha bestimmen, aber keiner und ich ?
konnte den Abstand der Seite AB berechnen.
Gruß ebikerni
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Home / Seite ohne Frame
2023-05-30 15:43 S <
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