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| Autor |
 Funktionalgleichung mit Auf- und Abrundungsfunktion |
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Rick007
Aktiv 
Dabei seit: 16.11.2015
Mitteilungen: 35
 |  Themenstart: 2023-03-15
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Guten Abend,
Weiß zufällig jemand wie ich die untenstehende Funktion B(x) finde?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/44343_Screenshot_20230315_171001_Wolfram_Alpha.jpg
*das 2x im ersten Term rechts sollte eigentlich auch x heißen
Danke und VG
Rick007
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-15
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Hallo Rick007,
was ist genau die Frage? Eine Funktion $B: \mathbb Z \to \mathbb Z$ zu finden, sodass $B(x)=B\left(\left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil\right)+B\left(\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor\right)+1$ für alle $x\in\mathbb Z$ gilt?
Grüße,
PhysikRabe
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Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1242
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-15
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Ich war mir auch nicht sicher, aber ich nehme an, es ist die Funktionalgleichung
\quoteon(2023-03-15 20:02 - PhysikRabe in Beitrag No. 1)
$B(x)=B\left(\left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil\right)+B\left(\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor\right)+1$
\quoteoff
nach $B(x)$ zu lösen.
Allgemein ist etwas Kontext zur Aufgabe sicher nicht schlecht.
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Rick007
Aktiv 
Dabei seit: 16.11.2015
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-15
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Hi,
Ja genau, ich hab schon ein bisschen herumprobiert, komme aber nicht wirklich auf eine Lösung für die Funktionalgleichung
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hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 2010
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-15
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Es fehlen weitere Randbedingungen für eine eindeutige Lösung.
Eine mögliche gültige Lösung: B(x)=-1,
denn B(was auch immer)+B(was auch immer)+1=-1-1+1=-1=B(was auch immer)
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Rick007
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2015
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18
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Ja das stimmt, aber ich hätte nach einer nicht-zrivialen Lösung gesucht
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1242
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-18
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Konkreter sind vermutlich die nicht-konstanten Lösungen (also nicht $B(x)=-1$) gesucht.
Für ganzzahlige $x$ ist übrigens die Gerade $B(x)=-x$ eine Lösung (wie man mit dem Ansatz $B(x)=c\cdot x$ schnell findet).
Aber es gibt vermutlich noch weitere Lösungen.
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Rick007
Aktiv
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Mitteilungen: 35
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-22
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Du meinst ungerade x? Ja stimmt, da würde tatsächlich B(x) = -x funktionieren, schön wäre natürlich eine allgemeine Lösung für natürliche x gewesen...
Aber danke trotzdem
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1242
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-22
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\quoteon(2023-03-22 18:23 - Rick007 in Beitrag No. 7)
Du meinst ungerade x? Ja stimmt, da würde tatsächlich B(x) = -x funktionieren, schön wäre natürlich eine allgemeine Lösung für natürliche x gewesen...
Aber danke trotzdem
\quoteoff
Öhh, ...
$
-x
=-\left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil
-\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor +1
$ wird doch erfüllt für beliebige $x \in\mathbb{Z}$
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1242
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-23
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Allgemeiner (als #6) wird $B(x)
=B\left( \left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil \right)
+B\left( \left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor \right) +1
$ übrigens für ganze $x \in \mathbb{Z}$ erfüllt von $B(x)=ax+b$, mit $
a\in \mathbb{R}$, $b\in \mathbb{R}$, sofern $b=-a-1$ gilt.
Letzteres zeigt man mit dem Ansatz
$B(x)=ax+b
= \left( a \left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil +b \right)
+ \left( a \left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor +b \right)
+1 \\
~\Leftrightarrow~
b =-a\left( \left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil
+ \left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor -x \right) -1;
$
wobei $\left\lceil\frac{x+1}{2}\right\rceil
+ \left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor -x =1$ für $x \in \mathbb{Z}$ ist, was schnell aus den Ansätzen $x=2k$ bzw. $x=2k+1,$ mit $k \in \mathbb{Z},$ folgt.
In dieser Lösung $
B(x)=ax+b,~~ x \in \mathbb{Z};
~~ a,b \in \mathbb{R},
~~ b=-a-1
$ sind u.a. die Sonderfälle $B(x)=-1$ (#4) oder $B(x)=-x$ (#6) enthalten.
Dass es nichts Weiteres mit 'Gammafunktion' usw. und wie auch immer gibt, vermag ich nicht zu sagen. Hintergründe und Kontext zur Aufgabe werden ja auch vom Themenstarter konsequent verschwiegen.
$
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
]
\begin{axis}[
title={$
B(x)=ax+b,~~ x \in \mathbb{Z};
~~ a,b \in \mathbb{R},
~~ b=-a-1$},
title style={text=blue},% mhr tikziker als \color{blue}
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
%samples=222,
xmin = -3.6, xmax=6.6,
ymin = -12.6, ymax=9.6,
minor tick num=1,
xlabel={$x$},
xlabel style={anchor=north west, inner sep=1pt},
ylabel={$B(x)$},
ylabel style={anchor=west, inner sep=1pt},
%clip=false,
]
% Ursprung
\node[below left] at (0,0) {\pgfmathprintnumber[]{0}};
%% Funktion
%\addplot[blue, domain=-3:6]{-1
%} node[anchor=north west, inner sep=2pt, pos=0.666]{$a$=$0$, $b$=$-1$};
\foreach \a in {-5,-4,...,-1,1,2,...,5,0}{%%
\pgfmathsetmacro\b{int(-\a-1)}
%
\edef\temp{%
% Gerade =======================
\noexpand\addplot[blue!33, domain=-5:3.5]{\a*x+\b} node[anchor=north west, inner sep=1pt, text=blue]{$a$=$\a$, $b$=$\b$};
% Ganzahlige Werte =======================
\noexpand\addplot[
only marks, mark=*, mark size=1.25pt, mark options={fill=black!1}, blue,
domain=-3:3, samples=7
]{\a*x+\b};
}\temp
}%%
\end{axis}
\end{tikzpicture}
$
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