| |
| Autor |
  Bestimmung von Quantilen mit der Verteilungsfunktion |
|
nikofld3
Aktiv 
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
 |  Themenstart: 2023-03-18
|
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55422_alterboss.png
Mich verwirrt bei der Formel etwas, also bei der rot markierten.
Alpha ist ein Quantil und für die Verteilungsfunktion gelte F(x)=alpha.
F(x) heißt aber, da es eine Verteilungsfunktion ist, dass für X<=x dann alpha gilt, was ja auch die Eigenschaften eines Quantils ist.
Das Alpha Quantil ist also das x, welches P(X<=x)= Alpha und P(X>=x)= 1-alpha erfüllt.
Mein Problem nun:
Also sagen wir mal ich habe das 0.3 Quantil, für P(X<=9), das heißt für alle x-Werte kleiner gleich 9 gilt Wahrscheinlichkeit von 0.3.
für X>=9 gilt dann für alle x-Werte dei Wahrscheinlichkeit 0.7, das sind meine beiden Quantile.
Wenn ich jetzt irgendwo ein drittes Quantil hätte, wo ich sagen würde, dass das 0.5-Quantil z. B. sei und für X<=2 gilt, dann hättte ich das Problem, dass da ja eigentlich das 0.3 Quantil hätte gelten müsste? Weil P(X<=9) ist ja auch x=2, x=1 enthalten und wir haben ja vorher gesagt, dass für P(X<=9) das 0.3 Quantil gilt? Dann kann da doch garnicht noch ein 0.5 Quantil exisitieren für x-Werte kleiner gleich 9 und für größer gleich 9 auch nicht, weil für größer gleich 9 da immer 0.7 gelten muss.
|
 Profil
|
luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1004
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-19
|
\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Das geht etwas durcheinander, 0.3 und 0.7 sind keine Quantile. Die Gleichung $P(X\le 9)=0.3$ definiert ein Quantil, nicht zwei, naemlich das 30%-Quantil $x_{0.3}=9$. Fuer das 70%-Quantil koennte gelte $x_{0.7}=15$, wenn gilt $P(X\le 15)=0.7$. Quantile $x_\alpha$ liegen auf der x-Achse, Wahrscheinlichkeiten $\alpha$ auf der y-Achse.
In deinem Beispiel kann 2 nicht das 50%-Quantil $x_{0.5}$ sein. Die Verteilungsfunktion ist monoton steigend, so dass aus $F(x_{0.3})=0.3<0.5=F(x_{0.5})$ folgt $9=x_{0.3}\le x_{0.5}$.
vg Luis
\(\endgroup\)
|
Profil
|
nikofld3
Aktiv
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
|
\quoteon(2023-03-19 10:11 - luis52 in Beitrag No. 2)
Das geht etwas durcheinander, 0.3 und 0.7 sind keine Quantile. Die Gleichung $P(X\le 9)=0.3$ definiert ein Quantil, nicht zwei, naemlich das 30%-Quantil $x_{0.3}=9$. Fuer das 70%-Quantil koennte gelte $x_{0.7}=15$, wenn gilt $P(X\le 15)=0.7$. Quantile $x_\alpha$ liegen auf der x-Achse, Wahrscheinlichkeiten $\alpha$ auf der y-Achse.
In deinem Beispiel kann 2 nicht das 50%-Quantil $x_{0.5}$ sein. Die Verteilungsfunktion ist monoton steigend, so dass aus $F(x_{0.3})=0.3<0.5=F(x_{0.5})$ folgt $9=x_{0.3}\le x_{0.5}$.
vg Luis
\quoteoff
Genau, also ich habe michf alsch ausgedrückt, aber das war mir klar.
Was mir nicht klar ist, kann es mehr als 2 Quantile, allgemein geben, jetzt mal von dem Beispiel von eben weg?
Weil ein Quantil ist ja so definiert P(X<=x)=alpha ist ein Quantil.
So sagen wir:
P(X<=4)=0.4
dann wäre ja P(X>=4)=1-0.4=0.6.
UND nun bin ich verwirrt.
Heißt es ich kann nur zwei Quantile haben?
Weil, ich sage für jedes x € X was kleiner <=4 ist sage ich, kommt 0.4 raus? Das sagt doch P(X<=4)=0.4? Das heißt wenn ich P(1), P(2), P(3) bis P(4) halt, kommt 0.4 raus? Das heißt ich kann ja kein anderes Quantil bei x<=0.4 haben, da alle Werte 0.4 annehmen?
Und bei x>=4, nehmen alle Werte 0.6 an, deshalb habe ich ja nur noch daneben das P(X>=4)=0.6 Quantil?
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-21
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-03-21 12:44 - nikofld3 in Beitrag No. 2)
Was mir nicht klar ist, kann es mehr als 2 Quantile, allgemein geben, jetzt mal von dem Beispiel von eben weg?
Weil ein Quantil ist ja so definiert P(X<=x)=alpha ist ein Quantil.
So sagen wir:
P(X<=4)=0.4
dann wäre ja P(X>=4)=1-0.4=0.6.
UND nun bin ich verwirrt.
Heißt es ich kann nur zwei Quantile haben?
Weil, ich sage für jedes x € X was kleiner <=4 ist sage ich, kommt 0.4 raus? Das sagt doch P(X<=4)=0.4? Das heißt wenn ich P(1), P(2), P(3) bis P(4) halt, kommt 0.4 raus? Das heißt ich kann ja kein anderes Quantil bei x<=0.4 haben, da alle Werte 0.4 annehmen?
Und bei x>=4, nehmen alle Werte 0.6 an, deshalb habe ich ja nur noch daneben das P(X>=4)=0.6 Quantil?
\quoteoff
Ich glaube, dein Verständnisproblem ist viel grundlegender. Du hast das Konzept der Verteilungsfunktion noch nicht wirklich durchschaut, dann wird es mit dem Begriff "Quantil" auch schwierig.
Wenn \(P(X\le 4)=0.4\) ist, dann bedeutet das: die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich 4 annimmt, ist gleich 0.4. Über die Wahrscheinlichkeiten etwa einzelner Werte dieser ZV ist damit rein gar nichts ausgesagt (abgesehen davon, dass solche Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X=k)\) bei stetigen Zufallsvariablen gleich Null sind).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
nikofld3
Aktiv
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
|
\quoteon(2023-03-21 12:56 - Diophant in Beitrag No. 3)
Hallo,
\quoteon(2023-03-21 12:44 - nikofld3 in Beitrag No. 2)
Was mir nicht klar ist, kann es mehr als 2 Quantile, allgemein geben, jetzt mal von dem Beispiel von eben weg?
Weil ein Quantil ist ja so definiert P(X<=x)=alpha ist ein Quantil.
So sagen wir:
P(X<=4)=0.4
dann wäre ja P(X>=4)=1-0.4=0.6.
UND nun bin ich verwirrt.
Heißt es ich kann nur zwei Quantile haben?
Weil, ich sage für jedes x € X was kleiner <=4 ist sage ich, kommt 0.4 raus? Das sagt doch P(X<=4)=0.4? Das heißt wenn ich P(1), P(2), P(3) bis P(4) halt, kommt 0.4 raus? Das heißt ich kann ja kein anderes Quantil bei x<=0.4 haben, da alle Werte 0.4 annehmen?
Und bei x>=4, nehmen alle Werte 0.6 an, deshalb habe ich ja nur noch daneben das P(X>=4)=0.6 Quantil?
\quoteoff
Ich glaube, dein Verständnisproblem ist viel grundlegender. Du hast das Konzept der Verteilungsfunktion noch nicht wirklich durchschaut, dann wird es mit dem Begriff "Quantil" auch schwierig.
Wenn \(P(X\le 4)=0.4\) ist, dann bedeutet das: die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich 4 annimmt, ist gleich 0.4. Über die Wahrscheinlichkeiten etwa einzelner Werte dieser ZV ist damit rein gar nichts ausgesagt (abgesehen davon, dass solche Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X=k)\) bei stetigen Zufallsvariablen gleich Null sind).
Gruß, Diophant
\quoteoff
Danke, gut da hast du recht, aber inwiefern hilft es jetzt beim Quantil? ISt es dann so, dass wenn z. B. gilt P(X<=4)=a, dass mein erstes Quantil ist, für P(X<=2) gilt =b, wobei b
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-21
|
Ich verstehe nicht wirklich, was du meinst. Ist dir denn die praktische Bedeutung des Konzepts soweit klar?
Ansonsten muss man bei Fragen nach der Eindeutigkeit zunächst einmal klären, welche Eigenschaften man bei der zugrundeliegenden Verteilung voraussetzt.
In deinem Bild im Themenstart ist im Fall der linken Verteilungsfunktion jedes Quantil eindeutig definiert (warum?).
Im Fall der rechts dargestellten Verteilung ist das aber nicht so (wieder: warum?).
Vielleicht hilft dir die zuständige Wikipedia-Seite beim Verständnis weiter?
(Dort steht auch etwas zur Frage der Eindeutigkeit.)
Gruß, Diophant
|
Profil
|
nikofld3
Aktiv
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-22
|
\quoteon(2023-03-21 14:23 - Diophant in Beitrag No. 5)
Ich verstehe nicht wirklich, was du meinst. Ist dir denn die praktische Bedeutung des Konzepts soweit klar?
Ansonsten muss man bei Fragen nach der Eindeutigkeit zunächst einmal klären, welche Eigenschaften man bei der zugrundeliegenden Verteilung voraussetzt.
In deinem Bild im Themenstart ist im Fall der linken Verteilungsfunktion jedes Quantil eindeutig definiert (warum?).
Im Fall der rechts dargestellten Verteilung ist das aber nicht so (wieder: warum?).
Vielleicht hilft dir die zuständige Wikipedia-Seite beim Verständnis weiter?
(Dort steht auch etwas zur Frage der Eindeutigkeit.)
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ich verstehe nicht, ob es mehr als 2 Quantile existieren können.
Also, wenn wir sagen wir haben ein Quantil für P(X<=4)=0.5
Kann nun irgendein Quantil noch exisitieren wo gilt P(X<=x)=a, wobei x kleiner 4 ist?
Also z. B. P(X<=3)=a? Und wenn es exisitiert, so ist es ja so, dass das P(X<=3)=a auch bestandteil des P(X<=4)=0.5 Quantils ist? Also liegt dann das Quantil beim Quantil P(X<=4)=0.5? Weil: P(X<=4) zählt ja für alle x-Werte kleiner gleich 4, wo auch 3 dazu gehört?
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-22
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-03-22 17:18 - nikofld3 in Beitrag No. 6)
Ich verstehe nicht, ob es mehr als 2 Quantile existieren können.
Also, wenn wir sagen wir haben ein Quantil für P(X<=4)=0.5
Kann nun irgendein Quantil noch exisitieren wo gilt P(X<=x)=a, wobei x kleiner 4 ist?
\quoteoff
Warum denn nicht?
\quoteon(2023-03-22 17:18 - nikofld3 in Beitrag No. 6)
Also z. B. P(X<=3)=a? Und wenn es exisitiert, so ist es ja so, dass das P(X<=3)=a auch bestandteil des P(X<=4)=0.5 Quantils ist? Also liegt dann das Quantil beim Quantil P(X<=4)=0.5? Weil: P(X<=4) zählt ja für alle x-Werte kleiner gleich 4, wo auch 3 dazu gehört?
\quoteoff
Das ist die falsche Fragestellung, denn du suchst hier nach einer Wahrscheinlichkeit. Beim Quantil wird dagegen eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das eigentliche Quantil ist die (oder eine) Schranke, so dass mit dieser Wahrscheinlichkeit die Werte der ZV gleich oder kleiner als diese Schranke sind.
Kennst du aus der Schule noch die Boxplots zur Visualisierung von Stichprobendaten? Dabei arbeitet man auch mit (drei besonderen) Quantilen: dem Median, das ist das Quantil zu \(p=0.5\), und den sog. Quartilen, das sind die Quantile zu \(p=0.25\) bzw. \(p=0.75\).
Da man bei der Definition von Quantilen die Eigenheiten von Verteilungsfunktionen mit berücksichtigen muss (insbesondere auch die mögliche Existenz von Sprungstellen!), ist die Definition eben etwas sperrig.
Ganz flapsig gesagt: stelle dir das Konzept des Quantils als eine Art "Umkehrfunktion" zur Verteilungsfunktion vor. Ich erlaube mir in diesem Zusammenhang nochmal auf deine Abbildung aus dem Themenstart zu verweisen. Die obigen Fragen danach hast du leider nicht beantwortet oder sonst irgendwie Stellung dazu genommen. Daher nochmal die dringende Anregung: mache dir klar, warum das Quantil im Fall der links dargestellten Verteilung sogar eine Umkehrfunktion ist, im Fall der rechten Abbildung aber nicht!
(Welche wichtige Eigenschaft besitzt gleich nochmal jede Funktion?...)
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
|
Profil
|
nikofld3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nikofld3 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
