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 Facharbeit über Folgen und Reihen |
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Eaglexyz
Neu 
Dabei seit: 21.03.2023
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2023-03-21
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Hallo,
Ich schreibe eine Facharbeit über Folgen und Reihen und suche sozusagen das Sahnehäubchen.
Ein anspruchsvolles,interessantes Problem,Thema.
Da ich noch ziemlich viel Zeit bis zur Abgabe habe,würde ich mich gerne wirklich tief einarbeiten und schrecke vor schwierigen Themen nicht zurück.
Könnt ihr mir vielleicht solche Themen vorschlagen?
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2244
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-21
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Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten! :)
Was ich immer wieder schön finde, ist eine geschlossene Formel für die Folgeglieder der Fibonacci-Folge herzuleiten, z.B. mit Hilfe erzeugender Funktionen (das sind bestimmte Reihen).
LG Nico
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 310
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-21
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\quoteon
Ein anspruchsvolles,interessantes Problem,Thema.
\quoteoff
Das ist sicherlich ansichtssache.
Da du ja offensichtlich noch Schüler bist, müsstest du eventuell sagen was du schon weißt, oder wie weit du in der Mathematik bist.
Als ich Schüler war, habe ich das Buch von Harro Heuser zur Analysis 1 gelesen, und fand irgendwie eine Übungsaufgabe ganz interessant, in der es um die Auswirkung von Investitionen auf das Volkseinkommen ging, deshalb kommt es mir gerade in den Sinn.
Du könntest in deiner Facharbeit dann über Induktion sprechen, die geometrische Summenformel beweisen (wofür man nicht unbedingt Induktion braucht), und dann eben die theoretische Auswirkung einer Investition auf das Volkseinkommen berechnen/besprechen, auch wenn ich jetzt dazu nichts so konkretes sagen kann (also wie ergiebig das Thema eigentlich ist, wenn man nichts über Volkswirtschaft schreiben will).
Das hat jetzt nicht so viel mit Folgen/Reihen zu tun, ist aber relativ konkret, und ein netter Mix (wie ich finde) aus elementaren Rechnungen (da Induktion ja eher ein "rechnerisches" Beweisverfahren ist), und die geometrische Summenformel wird ja auch in der Schule benutzt (Rentenrechnung), somit wäre deine Facharbeit dann kein prätentiöses Werk, sage ich mal, sondern die Dinge sind noch einfach genug, dass du etwa in einem Vortrag deinen Mitschülern die Konzepte erklären könntest, und sie eine realistische Chance haben folgen zu können.
Das ist jetzt wohl für eine Facharbeit nicht entscheidend, aber ist ja doch eigentlich ganz nett, wenn Freunde die Arbeit lesen und was daraus lernen können.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-21
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Hallo und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2023-03-21 21:04 - Eaglexyz im Themenstart)
Ich schreibe eine Facharbeit über Folgen und Reihen und suche sozusagen das Sahnehäubchen.
Ein anspruchsvolles,interessantes Problem,Thema.
Da ich noch ziemlich viel Zeit bis zur Abgabe habe,würde ich mich gerne wirklich tief einarbeiten und schrecke vor schwierigen Themen nicht zurück.
Könnt ihr mir vielleicht solche Themen vorschlagen?
\quoteoff
Welcher Umfang ist denn da so angedacht? Ein Tipp zu Folgen wurde ja schon gegeben.
Bei den Reihen könnte man sich im Rahmen der Schule hauptsächlich auf die geometrische Reihe konzentrieren, sowie auf verwandte Reihen. Und das ganze vielleicht jeweils mit oder anhand von Anwendungen?
Man könnte bspw. untersuchen, wie viele Versuche es durchschnittlich braucht, um mit einem idealen Spielwürfel eine Sechs zu werfen. Die Reihe, auf die das hinausläuft, ist eng mit der geometrischen Reihe verwandt.
Dann könnte man noch ein paar Beispiele für weitere Reihen angeben, insbesondere auch für divergente Reihen. Hier würde mir als erstes die sog. harmonische Reihe einfallen. Der Beweis für die Divergenz dieser Reihe (also der Tatsache, dass sie keinen Grenzwert besitzt), ist mit Schulmathematik zu bewerkstelligen.
Aber wie gesagt: du solltest dir vielleicht erst Gedanken über den Umfang machen, und dann einen Fahrplan, was du da alles mit aufnehmen möchtest.
Welche Vorkenntnisse hast du denn (über die Schulmathematik hinausgehend)?
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Folgen und Reihen' in Forum 'Folgen und Reihen, Induktion' von Diophant]
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 501
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-22
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\quoteon(2023-03-21 21:04 - Eaglexyz im Themenstart)
Ein anspruchsvolles,interessantes Problem,Thema.
Könnt ihr mir vielleicht solche Themen vorschlagen?\quoteoff
Was ist das Ergebnis von \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2+3}+\frac{1}{4+5+6}+\frac{1}{7+8+9+10}+ ...\) ?
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MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1403
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-22
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\quoteon(2023-03-22 12:58 - willyengland in Beitrag No. 4)
\quoteon(2023-03-21 21:04 - Eaglexyz im Themenstart)
Ein anspruchsvolles,interessantes Problem,Thema.
Könnt ihr mir vielleicht solche Themen vorschlagen?\quoteoff
Was ist das Ergebnis von \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2+3}+\frac{1}{4+5+6}+\frac{1}{7+8+9+10}+ ...\) ?
\quoteoff
Kann man den Grenzwert wirklich exakt angeben mit Mitteln des Schulstoffes, oder nur eine obere Abschätzung: < 47/9 - pi^2/3 (jetzt sollte es passen)
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 501
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-22
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Ich habe KEINE Ahnung ...
Stand im Februar Heft von Spektrum.
:-)
Man könnte es so zusammenfassen:
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n^2+1)} \]
Das Ergebnis ist ungefähr 1,3437...
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Qing
Aktiv
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 310
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-22
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Ansonsten fällt mir gerade noch ein, dass du eventuell was über rationale Punkte auf elliptischen Kurven schreiben könntest.
Das Thema ist für Schüler eigentlich ganz gut verständlich, und benutzt so ziemlich alles, was man in der Schule so lernt.
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MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1403
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-22
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\quoteon(2023-03-22 14:46 - willyengland in Beitrag No. 6)
Ich habe KEINE Ahnung ...
Stand im Februar Heft von Spektrum.
:-)
Man könnte es so zusammenfassen:
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n^2+1)} \]
Das Ergebnis ist ungefähr 1,3437...
\quoteoff
Jup, und dann weiter:
\(= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{n} - \frac{2n}{n^2+1}) = 2 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (- \frac{2n}{n^2+1} + \frac{2}{n+1}) = 2 - 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)}{(n+1)(n^2+1)}\\
= 2 - 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+2)((n+1)^2+1)}\)
Nun ist für \(n \geq 1\): \(2n^2+3n \geq 5 > 4\)
Und folglich:
\(\Leftrightarrow n^3 + 6n^2 + 9n > n^3 + 4n^2 + 6n + 4\\
\Leftrightarrow n(n+3)^2 > ((n+1)^2+1)(n+2)\\
\Leftrightarrow \frac{n}{(n+2)((n+1)^2+1)} > \frac{1}{(n+3)^2}\)
Somit:
\(2 - 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+2)((n+1)^2+1)} < 2 - 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+3)^2} = 2 + 2(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}) = \frac{85}{18} - \frac{\pi^2}{3} \approx 1.432354...\)
Iwo hatte ich mich vorhin noch verrechnet xD
Ich denke, so ein Beweis wie:
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)
Das würde schon genügen für einen Exkurs in Reihen und Folgen.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@willyengland:
\quoteon(2023-03-22 12:58 - willyengland in [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-22
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Möglicherweise sind Teleskopsummen ja auch für dich interessant. Dazu hatte PrinzessinEinhorn hier auch mal einen schönen Beitrag geschrieben:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=238162&start=0#p1733790
Gruß,
Küstenkind
edit sagt noch: In diesem Zusammenhang wäre dann \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \frac{1}{1+2+3+4+5} + ... \) schöner zu berechnen.
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Eaglexyz
Neu 
Dabei seit: 21.03.2023
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
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Danke für eure Antworten
Ich kenne mich mit den Grundlagen der Mengenlehre,Supremum und Infimum,Komplexen Zahlen,Konvergenzsätzen aus und habe auch ein paar Beweise in diesen Bereichen geführt.
Könntest du mir Literatur für rationale Punkte auf elliptischen Kurven empfehlen?
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Qing
Aktiv
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 310
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-25
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\quoteon
Könntest du mir Literatur für rationale Punkte auf elliptischen Kurven empfehlen?
\quoteoff
Das Buch was ich im Sinn habe ist Rational Points on Elliptic Curves von Silverman und Tate.
Dabei handelt es sich um ein recht elementares Lehrbuch, was man allerdings nicht ohne Vorkenntnisse lesen kann.
Das ist aber nicht so wichtig.
Du könntest erstmal die Einleitung lesen, und dann das erste Kapitel.
Dabei kannst du die Dinge "überfliegen", die du nicht verstehst.
Das sollte genug sein, um daraus eine Facharbeit zu machen, und dich in die Notation reinzufuchsen.
Elliptische Kurven sind mehr oder weniger das "nächste" was nach quadratischen Gleichungen kommt.
Deshalb passt es eigentlich so gut zu der Schule.
Um Punkte auf elliptischen Kurven zu "addieren" sind Schnittpunkte von Geraden mit der Kurve zu berechnen, und diese Gerade aufzustellen.
Eine Gerade aus zwei Punkten aufstellen, ist aus der Schule bekannt.
Die Gleichungen dann zu lösen, kannst man auch mit den Mitteln der Schulmathematik.
Zum Beispiel könntest du erklären, dass es unendlich viele pythagoräische Zahlentripel gibt (auch diese Begriffe sind aus der Schule bekannt), und eventuell ein paar Formeln herleiten.
Die ersten 28 Seiten aus dem besagten Buch könntest du in eine Facharbeit umwandeln.
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 501
| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-25
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Einführung auf Deutsch:
Elliptische Kurven
von
Franz Lemmermeyer
https://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/elliptic_curve.pdf
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-03-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
1. Eine Variante der harmonischen Reihe
Die harmonische Reihe $1+ \frac 12+ \frac 13+ \frac 14 + \ldots$, also die Reihe über die Kehrwerte aller positiven natürlichen Zahlen, divergiert bekanntlich.
Gilt das auch für die Reihe über die Kehrwerte aller positiven natürlichen Zahlen, in deren Dezimaldarstellung die Ziffer $9$ nicht vorkommt? (Stichwort: Cauchysches Verdichtungskriterium)
2. Die Calkin-Wilf-Folge
Sei $f:\IR_{>0} \to \IR_{>0}, x \mapsto \frac 1{2\lfloor x \rfloor +1 -x}$.
Betrachte jetzt die rekursiv definierte Folge $a_1=1, a_{n+1}=f(a_n)$. Diese Folge hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass in ihr jede positive rationale Zahl genau einmal auftritt. (siehe z.B. im "Buch der Beweise" von Aigner und Ziegler)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]\(\endgroup\)
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Qing
Aktiv
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 310
| Beitrag No.15, eingetragen 2023-03-29
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Nachtrag zu den elliptischen Kurven:
Es gibt eine mathematisches Lesebuch von Avner Ash und Robert Gross namens Elliptic Tales.
Ich habe das Buch noch nicht gelesen, fand aber Fearless Symmetry von den gleichen Autoren ziemlich gut.
In dem Buch werden die Themen auch abgehandelt, aber ich glaube, dass es nicht so einfach zu lesen ist. Interessant wären die Kapitel 8, 9 und 10.
Du könntest eventuell einfach mal lesen und gucken wie viel du verstehst.
Es sollte die anderen genannten Bücher gut ergänzen.
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