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| Autor |
 P-fast sichere Konvergenz einer exponentiell verteilten Zufallsvariablen zeigen. |
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avacyn
Aktiv 
Dabei seit: 30.03.2021
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2023-03-26
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Hallo allerseits,
ich möchte folgendes zeigen und bin mir bei dem Beweis etwas unsicher:
Gegeben sei eine Folge $X_n$, ${n \in \mathbb{N}}$ von exponentialverteilten Zufallsvariablen $X_n >0$ auf einen Wahrscheinlichkeitsraum $( \Omega, A, P)$ mit dem Parameter 1, d.h. die $X_n$ besitzen die Dichte $f(x)= exp(-x)$ für $x>0$.
Es gilt: $ \limsup _ {n \to \infty} ( \frac{X_n}{ln (n)} ) \leq 1$ P-fast sicher.
Meine Idee war jetzt das Lemma von Borel-Cantelli zu verwenden. Wir definieren also zunächst $Y_n = \frac {X_n}{ln (n)}$, dann gilt $P( Y_n \leq 1) = 1 - exp(-ln( n)) = 1 -1/n$, da $X_n$ die Dichte $exp(-x)$ besitzt. Jetzt gilt $\sum_{n=1}^{\infty} P(Y_n \leq 1)= \sum_{n=1}^{\infty} (1 -1/n) = \infty $. Und jetzt folgt aus dem Lemma von Borel-Cantelli: $P( \limsup_{n \to \infty} (Y_n \leq 1)) =1$, d.h. $\limsup_{n \to \infty} \frac{X_n}{ln(n)}$ ist P-fast sicher $\leq 1$.
Kennt sich jemand mit der Thematik aus und kann mir sagen, ob mein Beweis so weit stimmt oder wie es anders geht?
Vielen Dank schon einmal im Voraus!
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-26
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\quoteon(2023-03-26 19:32 - avacyn im Themenstart)
Und jetzt folgt aus dem Lemma von Borel-Cantelli: $P( \limsup_{n \to \infty} (Y_n \leq 1)) =1$
\quoteoff
Hierfür fehlt noch eine Voraussetzung an die Unabhängigkeit der $Y_n$ bzw. $X_n$.
\quoteon(2023-03-26 19:32 - avacyn im Themenstart)
$P( \limsup_{n \to \infty} (Y_n \leq 1)) =1$, d.h. $\limsup_{n \to \infty} \frac{X_n}{ln(n)}$ ist P-fast sicher $\leq 1$.
\quoteoff
Du wirfst die Mengen $\limsup_{n\to\infty}\{Y_n\le1\}$ und $\{\limsup_{n\to\infty}Y_n\le1\}$ durcheinander.
--zippy
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avacyn
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2021
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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Hallo zippy, zunächst mal vielen Dank für deine Hilfe.
Zu deinem ersten Punkt: Du meinst ich habe "nur" vergessen die Unabhängigkeit zu zeigen oder? Denn unabhängig müssten die $X_n$ ja aufgrund ihrer Exponentialverteilung sein.
Zu dem zweiten Punkt: Mir ist um ehrlich zu sein der Unterschied zwischen den Mengen nicht klar und wie sich dies hier in dem Beweis auswirkt.
LG.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-27
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\quoteon(2023-03-26 23:08 - avacyn in Beitrag No. 2)
Denn unabhängig müssten die $X_n$ ja aufgrund ihrer Exponentialverteilung sein.
\quoteoff
Warum? Im Falle $X_1=X_2=X_3=\ldots$ wäre beispielsweise jedes $X_n$ exponentialverteilt, aber die $X_n$ wären nicht unabhängig.
\quoteon(2023-03-26 23:08 - avacyn in Beitrag No. 2)
Mir ist um ehrlich zu sein der Unterschied zwischen den Mengen nicht klar und wie sich dies hier in dem Beweis auswirkt.
\quoteoff
$\limsup_{n\to\infty}\{Y_n\le1\}$ ist das Ereignis, dass $Y_n\le1$ für unendlich viele Indizes $n$ gilt. Hier ist "$\limsup$" der Limes superior für Mengenfolgen.
$\{\limsup_{n\to\infty}Y_n\le1\}$ ist das Ereignis, dass $\limsup_{n\to\infty}Y_n\le1$ gilt. Hier ist "$\limsup$" der Limes superior für Zahlenfolgen.
Auf deinen Beweis wirkt sich das insofern aus, dass dein "d.h." falsch ist und du somit nicht das zeigst, was zu zeigen ist.
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avacyn
Aktiv
Dabei seit: 30.03.2021
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-27
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Alles klar, dann muss ich mir wohl erst einen neuen Ansatz überlegen.
LG
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-28
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Um das Borel-Cantelli-Lemma hier zum Einsatz zu bringen, hilft es, das Gegenereignis zu $\bigl\{\limsup_{n\to\infty}Y_n\le1\bigr\}$ zu betrachten, denn der Limes superior einer Folge ist genau dann $>1$, wenn unendlich viele Folgeglieder $>1$ sind:$$
\overline{\bigl\{\limsup\nolimits_{n\to\infty}Y_n\le1\bigr\}} =
\bigl\{\limsup\nolimits_{n\to\infty}Y_n>1\bigr\} =
\limsup\nolimits_{n\to\infty}\{Y_n>1\}
$$Wegen $\sum_{n=1}^\infty P(\{Y_n>1\})=\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty$ ist allerdings noch ein Zwischenschritt erforderlich:$$
\bigl\{\limsup\nolimits_{n\to\infty}Y_n>1\bigr\} =
\bigcup_{k=1}^\infty
\left\{\limsup\nolimits_{n\to\infty}Y_n\ge1+\frac1k\right\} =
\bigcup_{k=1}^\infty
\limsup\nolimits_{n\to\infty}\left\{Y_n\ge1+\frac1k\right\}
$$Damit hat man$$
\sum_{n=1}^\infty
P\left(\left\{Y_n\ge1+\frac1k\right\}\right) =
\sum_{n=1}^\infty
P\left(\left\{X_n\ge\left[1+\frac1k\right]\ln n\right\}\right) =
\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{1+1/k}} < \infty \;,
$$das Borel-Cantelli-Lemma liefert$$
P\left(\limsup\nolimits_{n\to\infty}
\left\{Y_n\ge1+\frac1k\right\}\right) = 0 \;,
$$und den Rest erledigt die $\sigma$-Additivität.
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