| Autor |
 Größter und kleinster echter Teiler |
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HannaWeg
Neu 
Dabei seit: 26.03.2023
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2023-03-26
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Hallo! Ich komme leider bei meiner Zahlentheorie Übung nicht weiter:
Die Frage lautet: für welche natürlichen Zahlen gilt, dass der größte echte Teiler 45 mal größer ist als der kleinste echte Teiler? (In der nächsten Teilnummer soll es dann auch allgemein gezeigt werden)
Ich habe bisher folgende Überlegungen angestellt:
d=kleinster echter Teiler (keT) von a --> d|a, d.h. a=d*m mit m aus den natürlichen Zahlen
t= größter echter Teiler von a --> t|a, d.h. a=t*n, analog wie m
Wir können aus der Angabe direkt folgern: a=45*d*n
Weiters wissen wir, dass wenn d der keT von a ist, dann gilt: t=a/d
Somit: 45*d=a/d --> 45d^2=a
Nun komme ich aber einfach nicht weiter, weiß nicht wo ich ansetzen soll, danke schon mal für eure Hilfe!
LG Hanna
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-26
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Überleg dir:
1. $d$ muss eine Primzahl sein.
2. $d$ muss kleiner als die Primteiler von $45$ sein.
--zippy
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juergenX
Aktiv 
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 833
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-26
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ich denke 180?! und alle groesseren a*2*45 mit primzahlen zwischen 3 bis 89.. nur so ne Idee..
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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HannaWeg
Neu 
Dabei seit: 26.03.2023
Mitteilungen: 2
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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Danke! Das heißt also d wäre 2, da 45=3*3*5
und a wäre dann doch 180, wegen t=a/d also a=2*45*2
und für die allgemeine Version, also wenn es heißt k mal so groß und nicht 45 mal so groß müsste man einfach schreiben:
k=p1*p2*p3*...*pn und d=po
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2789
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-03-26 20:26 - zippy in Beitrag No. 1)
Überleg dir:
1. $d$ muss eine Primzahl sein.
2. $d$ muss kleiner als die Primteiler von $45$ sein.
--zippy
\quoteoff
$d$ kann auch gleich dem kleinsten Primteiler von $45$ sein.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-26
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\quoteon(2023-03-26 21:33 - tactac in Beitrag No. 4)
$d$ kann auch gleich dem kleinsten Primteiler von $45$ sein.
\quoteoff
Ja, da hast du natürlich völlig Recht.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-26
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\quoteon(2023-03-26 21:29 - HannaWeg in Beitrag No. 3)
d.h. a= k*d*t = po*p1*...*pn*t ?
\quoteoff
Es gilt doch immer noch $a/d=k\cdot d$ und damit $a=k\cdot d^2$.
Und wenn $p$ der kleinste Primteiler von $k$ ist, dann kommen für $d$ die Primzahlen von $2$ bis $p$ in Frage.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 833
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-29
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\quoteon(2023-03-26 21:51 - zippy in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-03-26 21:29 - HannaWeg in Beitrag No. 3)
d.h. a= k*d*t = po*p1*...*pn*t ?
\quoteoff
Es gilt doch immer noch $a/d=k\cdot d$ und damit $a=k\cdot d^2$.
Und wenn $p$ der kleinste Primteiler von $k$ ist, dann kommen für $d$ die Primzahlen von $2$ bis $p$ in Frage.
\quoteoff
ja
es gibt nur 2 Lösungen.
2,2,90 ->180
3,3,45 ->3*45*3*3 ->1215,
weil vereinfacht in der 45 die 3 und 5 enthalten sind
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