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 Permutationen von Primzahlen |
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OlgaBarati
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Mitteilungen: 241
 |  Themenstart: 2023-03-29
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Hallo,
gesucht sind 3 aufeinanderfolgende n-stellige Primzahlen mit denen sich
verknüpft sechs 3n-stellige Primzahlen bilden lassen.
Beispiel (jedoch mit nur fünf 3n-stelligen Primzahlen):
$$p_1= 5563,\:p_2=5569,\:p_3=5573$$
\sourceon
5563.5569.5573
5569.5563.5573
5569.5573.5563
5573.5563.5569
5573.5569.5563
\sourceoff
Findet jemand den Sechser (im Lotto 🙂) ?
Oder kann es keinen Sechser geben ?🤔
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 2010
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-29
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Falls mit "aufeinanderfolgend" gemeint ist "NextPrime", dann:
Lösung1: {17769629, 17769643, 17769677}
Lösung2: {65918767, 65918777, 65918779}
Lösung3 {98182393, 98182439, 98182453}
Lösung4: {199387411, 199387417, 199387421}
Lösung5: {253802201, 253802257, 253802281}
Lösung6: {279011897, 279011899, 279011921}
Lösung7: {10561650119, 10561650133, 10561650161}
Falls Abstand1 =2 und Abstand2=4
oder Abstand1 =4 und Abstand2=2,
dann suche ich noch...
Grüße Gerd
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
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| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-29
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Noch 2, und dann kann mal jemand anders....
712229239, 712229257, 712229267
10998476561, 10998476641, 10998476719
Kein "Sechser im Lotto", sondern systematische Suche mit Befehlen wie
NextPrime
IsPrime
Grüße
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juergenX
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Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 844
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-30
|
Tip
der gute pzktupel hatte sich ausführlich mit solchen Folgen beschäftigt.
z.B.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=232720&post_id=1900839&start=11
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hyperG
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-30
|
\quoteon(2023-03-30 01:21 - juergenX in Beitrag No. 3)
Tip
der gute pzktupel hatte sich ausführlich mit solchen Folgen beschäftigt.
z.B.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=232720&post_id=1900839&start=11
\quoteoff
Ich glaube, dass Du da was verwechselst:
a) er suchte nicht nach irgendwelchen Abständen, sondern entweder kleinste konstante Abstände, oder Abstände mit identischem Wert {dann aber oft andere Primzahlen dazwischen}, oder erste nach der 10er Potenz.
(NextPrime hingegen kann mal Primzahllücken von mehreren Mio. haben und mal Abstand 2)
b) Mit String-Addition hat er auch selten nach Primzahlen gesucht. Ich werde ihn mal fragen.
Da keiner weiter antwortet, schließe ich hier mal mit einer unvollständigen Tabelle ab:
\sourceon nameDerSprache
Alle6Prime[17769629, 17769643, 17769677]
Alle6Prime[65918767, 65918777, 65918779]
Alle6Prime[98182393, 98182439, 98182453]
Alle6Prime[199387411, 199387417, 199387421]
Alle6Prime[253802201, 253802257, 253802281]
Alle6Prime[279011897, 279011899, 279011921]
Alle6Prime[712229239, 712229257, 712229267]
Alle6Prime[745427659, 745427663, 745427689]
Alle6Prime[1393567271, 1393567283, 1393567291]
Alle6Prime[1616839337, 1616839351, 1616839361]
Alle6Prime[1631014793, 1631014841, 1631014849]
Alle6Prime[1907708171, 1907708203, 1907708207]
Alle6Prime[1964034221, 1964034269, 1964034271]
Alle6Prime[1974494449, 1974494453, 1974494471]
Alle6Prime[2453507807, 2453507809, 2453507821]
Alle6Prime[2942863463, 2942863481, 2942863549]
Alle6Prime[3127588559, 3127588571, 3127588573]
Alle6Prime[3479198113, 3479198117, 3479198123]
Alle6Prime[3532205351, 3532205357, 3532205371]
Alle6Prime[3558773201, 3558773209, 3558773221]
Alle6Prime[3579874729, 3579874747, 3579874757]
Alle6Prime[4364416241, 4364416249, 4364416271]
Alle6Prime[4772986357, 4772986459, 4772986469]
Alle6Prime[4930999883, 4930999897, 4930999921]
Alle6Prime[4989797903, 4989797909, 4989797941]
Alle6Prime[5284526167, 5284526201, 5284526209]
Alle6Prime[5492793707, 5492793751, 5492793781]
Alle6Prime[5593549447, 5593549499, 5593549537]
Alle6Prime[6032871239, 6032871293, 6032871307]
Alle6Prime[6185269459, 6185269469, 6185269501]
Alle6Prime[6221570521, 6221570549, 6221570557]
Alle6Prime[6474195919, 6474195929, 6474195947]
Alle6Prime[6688249423, 6688249427, 6688249433]
Alle6Prime[6760616281, 6760616299, 6760616339]
Alle6Prime[7216647293, 7216647299, 7216647313]
Alle6Prime[10561650119, 10561650133, 10561650161]
Alle6Prime[10998476561, 10998476641, 10998476719]
Alle6Prime[12489912889, 12489912923, 12489912949]
\sourceoff
Und suche nach 4er, die alle 4!=24 Permutationen mit String-Addition wiederum Prime sein müssen...
Das könnte aber ein neuer Forumsbeitrag werden...
Grüße
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OlgaBarati
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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@hyperG
Tolle Ergebnisse, sehe ich mir morgen alles genau an.
Heute war leider keine Zeit.
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OlgaBarati
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-31
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Drei von deinen gefundenen "Sechsern" haben sogar noch die Eigenschaft, dass
die Summe der 3 Primzahlen auch eine Primzahl ist.
\sourceon
[1907708171, 1907708203, 1907708207] 5723124581
[1974494449, 1974494453, 1974494471] 5923483373
[4364416241, 4364416249, 4364416271] 13093248761
\sourceoff
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OlgaBarati
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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\quoteon(2023-03-30 16:25 - hyperG in Beitrag No. 4)
....
Und suche nach 4er, die alle 4!=24 Permutationen mit String-Addition wiederum Prime sein müssen...
Das könnte aber ein neuer Forumsbeitrag werden...
Grüße
\quoteoff
Könnte aber auch mit in diesem Forumsbeitrag laufen.
Es scheint mir fast aussichtslos für $4!$.
Mit $[31, 37, 41, 43]$ kommt man bereits auf 9 Primzahlen
\[[31374341, 31413743, 37314143, 37314341, 37413143, 41313743, 41433137, 43313741, 43314137]\]
mit $[313, 317, 331, 337]$ auf 10.
\[[313317337331, 331313317337, 331313337317, 331317313337, 331337313317, 331337317313, 337313331317, 337317331313, 337331313317, 337331317313]\]
Sehr weit entfernt von 24.
EDIT: Man könnte zunächst für $4!$ die Voraussetztung "aufeinanderfolgende" im Sinne von NextPrime weglassen und mit 4 zufälligen Primzahlen suchen.
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hyperG
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-04-01
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Hier schon mal ein "Zwischenstand":
\sourceon mathematica
p1 = NextPrime[496653276950];p2 = NextPrime[p1];p3 = NextPrime[p2];p4 = NextPrime[p3];
Erg = {Is4erPrime[p1, p2, p3, p4], Is4erPrime[p1, p2, p4, p3],
Is4erPrime[p1, p3, p2, p4], Is4erPrime[p1, p3, p4, p2],
Is4erPrime[p1, p4, p2, p3], Is4erPrime[p1, p4, p3, p2],
Is4erPrime[p2, p1, p3, p4], Is4erPrime[p2, p1, p4, p3],
Is4erPrime[p2, p3, p1, p4], Is4erPrime[p2, p3, p4, p1],
Is4erPrime[p2, p4, p1, p3], Is4erPrime[p2, p4, p3, p1],
Is4erPrime[p3, p1, p2, p4], Is4erPrime[p3, p1, p4, p2],
Is4erPrime[p3, p2, p1, p4], Is4erPrime[p3, p2, p4, p1],
Is4erPrime[p3, p4, p1, p2], Is4erPrime[p3, p4, p2, p1],
Is4erPrime[p4, p1, p2, p3], Is4erPrime[p4, p1, p3, p2],
Is4erPrime[p4, p2, p1, p3], Is4erPrime[p4, p2, p3, p1],
Is4erPrime[p4, p3, p1, p2], Is4erPrime[p4, p3, p2, p1]};
Length[Select[Erg, # == True &]]
Out: 12
\sourceoff
Ergibt also 12 String-Permutationen, die auch prime sind.
Die Primzahlen sind also schon relativ groß und die Rechenzeiten lang.
Zwar lässt sich die Aufgabe mit der Sprache Pari-GP in 2 Zeilen packen,
aber viel zu langsam. Deshalb ein erster Geschwindigkeitsvergleich:
\sourceon grober Geschwindigkeitsvergleich für 18 Mio. NextPrime-Primzahlen
Pari-GP: 127 s
Mathematica 64 s
GMP cpp 6 s
\sourceoff
Davon lasse ich gerade 15 Stück parallel laufen...
Zu "4 zufälligen Primzahlen suchen":
dachte ich zunächst an https://oeis.org/A004023 (also Primzahlen nur aus Ziffer 1),
aber sie liegen zu weit auseinander (2, 19, 23, 317,...Ziffern), um nach String-Addition wieder prime zu sein.
Ich überlege: wenn schon "beliebiger Abstand", ob man dann nicht optimieren kann (Vorfilter oder andere Einschränkung der zufälligen Suche)...
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OlgaBarati
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Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 241
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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Mit etwas kleineren allerdings zufälligen Zahlen erreicht man mit diesem Zufallstreffer auch 12 prime Permutationen.
\[[591791, 14173, 771209, 587057]\]
Kein wirklicher Fortschritt.
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-04-01
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Zwar weichen wir etwas vom Thema ab, aber hier etwas mehr:
\sourceon zufällige 4er Primes
Permut| zuf. 4er Prim
13 : |19, 79, 97, 7045694743
16 : |3, 71, 223, 8969
16 : |7, 97, 709, 3217
17 : |3, 7, 41, 32327
18 : |719, 1613, 1879, 7703
\sourceoff
Grüße
P.S.: mit welcher Sprache suchst Du?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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OlgaBarati
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Dabei seit: 16.11.2018
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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Zufällige Auswahl von 4 Primzahlen im Bereich bis $10^6$ mit Python.
Die respektablen Ergebnisse in #10 sehen nach systematischer Suche aus, die demnach hierfür die bessere Wahl ist.
18 Treffer mit 4 vergleichsweise kleinen Primzahlen lassen die Zuversicht wachsen dass ggf. mit zufälligen Zahlen noch mehr Treffer möglich sind.
EDIT: Mit der systematischen Suche kommt man wirklich recht schnell voran.
Hier noch mit 16 Treffern \[[3, 7, 53, 73] \]
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pzktupel
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Wohnort: Thüringen
 | Beitrag No.12, eingetragen 2023-04-01
|
Hat man mal untersucht, ob bei 4 aufeinanderfolgenden Primzahlen überhaupt in der Permutation 24 zusammenbekommt ? Immerhin könnte Teiler 7,11,13,17,19,23 das Gesamtmuster zerschießen.
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OlgaBarati
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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\quoteon(2023-04-01 20:25 - pzktupel in Beitrag No. 12)
Hat man mal untersucht, ob bei 4 aufeinanderfolgenden Primzahlen überhaupt in der Permutation 24 zusammenbekommt ? Immerhin könnte Teiler 7,11,13,17,19,23 das Gesamtmuster zerschießen.
\quoteoff
Hallo,
nein untersucht noch nicht, nur ursprünglich in #0 die Möglichkeit
genannt. Ehrlich gesagt weiß ich aber auch nicht wie eine solche Untersuchung
aussehen kann. Wäre toll wenn Du dazu eine Idee hast.
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OlgaBarati
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Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 241
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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...da war versehentlich das OK Häkchen. Daher diese Antwort.
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-04-01
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Nur zur Erinnerung: hier geht es um String-Addition, die im Gegensatz zu normalen mathematischen Funktionen/Operatoren von der Basisdarstellung der Zahl abhängig ist.
Die meisten Beiträge über Permutationen
-betrachten oft nur einzelne Ziffern
(https://en.wikipedia.org/wiki/Permutable_prime, oder https://oeis.org/A003459)
-oder betrachten nur kleine String-Additionen von 2 Zahlen
wie https://oeis.org/A030461.
Aussagen über mehrere String-Additionen oder immer größere Primzahlen sind sehr schwer fassbar und rechentechnisch sehr aufwendig.
Da auch die Primzahllücken immer größer werden, verschwimmen fast die Grenzen zwischen NextPrime(Prime-Vorgänger)-Suche und NextPrime(Zufallszahl)-Suche.
Vielleicht findet man bei der Zufalls-Suche auch Funktionen wie
224584605939537911 + 81292139*23#*k, die 27 Primzahlen mit interessantem "Ende" erzeugen:
\sourceon nameDerSprache
224584605939537911
242720302537486841
260855999135435771
278991695733384701
297127392331333631
315263088929282561
333398785527231491
351534482125180421
369670178723129351
387805875321078281
405941571919027211
424077268516976141
442212965114925071
460348661712874001
478484358310822931
496620054908771861
514755751506720791
532891448104669721
551027144702618651
569162841300567581
587298537898516511
605434234496465441
623569931094414371
641705627692363301
659841324290312231
677977020888261161
696112717486210091
\sourceoff
Jedoch verschlingt diese Spielerei sehr viel Zeit...
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Primentus
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 | Beitrag No.16, eingetragen 2023-04-02
|
Hallo OlgaBarati,
mein bisher bester Fund für 4 zufällige Primzahlen ist:
16 von 24 bei 3, 7, 59, 727
Mein bisher bester Fund für 5 aufeinanderfolgende Primzahlen ist:
27 von 120 bei 7, 11, 13, 17, 19
Meine bisher besten Funde für 5 zufällige Primzahlen sind:
35 von 120 bei 3, 11, 29, 293, 2657
36 von 120 bei 3, 7, 31, 37, 73
38 von 120 bei 3, 11, 37, 383, 887
39 von 120 bei 11, 37, 59, 83, 8377
40 von 120 bei 3, 11, 13, 29, 191
43 von 120 bei 3, 7, 37, 61, 67
Mein bisher bester Fund für 6 aufeinanderfolgende Primzahlen ist:
129 von 720 bei 3, 5, 7, 11, 13, 17
Meine bisher besten Funde für 6 zufällige Primzahlen sind:
121 von 720 bei 3, 7, 11, 29, 67, 2333
130 von 720 bei 3, 7, 11, 37, 53, 89
131 von 720 bei 2, 3, 7, 11, 79, 947
133 von 720 bei 2, 3, 11, 13, 53, 97
153 von 720 bei 3, 7, 11, 47, 67, 89
Mein bisher bester Fund für 7 aufeinanderfolgende Primzahlen ist:
720 von 5040 bei 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41
Meine bisher besten Funde für 7 zufällige Primzahlen sind:
628 von 5040 bei 3, 7, 11, 47, 67, 191, 641
748 von 5040 bei 3, 7, 37, 59, 67, 83, 97
Mein bisher bester Fund für 8 aufeinanderfolgende Primzahlen ist:
4619 von 40320 bei 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59
Mein bisher bester Fund für 8 zufällige Primzahlen ist:
4506 von 40320 bei 3, 7, 37, 47, 53, 89, 97, 331
4703 von 40320 bei 2, 3, 7, 11, 17, 59, 73, 97
5332 von 40320 bei 3, 7, 11, 17, 29, 37, 43, 59
Mein bisher bester Fund für 9 aufeinanderfolgende Primzahlen ist:
38270 von 362880 bei 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Meine bisher besten Funde für 9 zufällige Primzahlen sind:
26393 von 362880 bei 3, 11, 31, 41, 59, 569, 853, 997, 6947
27351 von 362880 bei 2, 5, 7, 29, 37, 43, 73, 733, 773
30827 von 362880 bei 7, 23, 29, 79, 89, 97, 373, 587, 673
31149 von 362880 bei 3, 7, 13, 79, 89, 199, 683, 907, 929
32656 von 362880 bei 7, 11, 43, 67, 79, 89, 97, 269, 587
32857 von 362880 bei 3, 7, 11, 53, 59, 751, 839, 863, 929
34139 von 362880 bei 3, 5, 7, 11, 17, 29, 59, 83, 127
36251 von 362880 bei 7, 11, 29, 37, 47, 71, 79, 89, 97
36558 von 362880 bei 3, 5, 7, 11, 37, 61, 67, 79, 89
36805 von 362880 bei 3, 11, 29, 37, 53, 59, 67, 83, 97
38136 von 362880 bei 2, 3, 7, 11, 17, 29, 53, 61, 71
39447 von 362880 bei 3, 7, 11, 37, 41, 43, 47, 53, 59
39559 von 362880 bei 3, 7, 11, 17, 53, 67, 79, 83, 89
40002 von 362880 bei 3, 7, 11, 29, 37, 53, 59, 71, 89
40947 von 362880 bei 3, 7, 11, 13, 17, 47, 53, 71, 97
41486 von 362880 bei 3, 7, 11, 17, 29, 37, 47, 59, 73
Meine bisher besten Funde für 10 aufeinanderfolgende Primzahlen sind:
163157 von 3628800 bei 9883, 9887, 9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967
328738 von 3628800 bei 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
333083 von 3628800 bei 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61
334618 von 3628800 bei 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53
Meine bisher besten Funde für 10 zufällige Primzahlen sind:
221789 von 3628800 bei 7, 47, 61, 67, 83, 97, 701, 6911, 9041, 98597
233011 von 3628800 bei 11, 53, 97, 163, 373, 401, 569, 659, 821, 997
252926 von 3628800 bei 3, 5, 19, 43, 47, 53, 83, 547, 647, 907
282352 von 3628800 bei 5, 7, 11, 37, 41, 53, 89, 97, 457, 557
283911 von 3628800 bei 3, 5, 7, 19, 37, 41, 67, 83, 439, 491
305064 von 3628800 bei 3, 13, 37, 43, 47, 53, 71, 79, 89, 769
321938 von 3628800 bei 3, 5, 11, 19, 29, 31, 59, 71, 79, 97
LG Primentus
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hyperG
Senior
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 2010
| Beitrag No.17, eingetragen 2023-04-02
|
Schön pzktupel & Primentus, dass ihr dazugestoßen seid.
Interessant:
ich bin bei meiner parallelen NextPrime-4er-Suche schon bei 14stelligen Zahlen (natürlich laufen auch noch exe mit 13 Stellen).
Seit gestern lasse ich die Suche auch schon ab 13 Permutationen anzeigen (da 12er bisheriger Rekord).
Bisher ist KEIN EINZIGER mit mehr als 12 Permutationen (die wieder prime sind) dabei!
Es könnte also sein, dass mindestens 24 oder 32stellige Zahlen nötig sind, damit mehr als 16 Permutationen wieder prime sind...
P.S.: Wenn sich jemand an der systematischen Suche beteiligen möchte, kann ich die schnelle exe (etwa 10 mal schneller als Python) zum Download anbieten -> wir müssen dann aber die Suchbereiche abstimmen, damit nicht doppelt gesucht wird (geteilte Arbeit kann sehr effektiv sein).
Wenn die zufällige Suche (beliebige Abstände) interessanter sein sollte (Jagt nach mehr als 18 Permutationen), könnte ich auch dafür eine optimierte exe erstellen...
Grüße Gerd
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OlgaBarati
Aktiv
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 241
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-02
|
Hallo Primentus,
neben den Ergebnissen von hyperG, jetzt mit deinen Ergebnissen könnte man sagen:
Für $n$ aufeinanderfolgende Primzahlen existiert mindestens eine Folge mit mindestens $(n-1)!$ Permutationen, die Primzahlen sind.
Bis jetzt für $n\leq 7$ gezeigt.
Für $n=8$ ist es noch fraglich ob es eine Folge, die mindestens $5040$ Permutationen aufweist die Primzahlen sind, gibt.
Für $n\leq 3$ existiert sogar mindestens eine Folge mit $n!$ Permutationen, die Primzahlen sind.
Ergebnisse aus #4.
Hallo hyperG,
dann wäre ich eher an der zufälligen Suche nach mehr als 18 Permutationen interessiert. An der systematischen Suche beißt man sich eher die Zähne aus.
Dann lieber für die zufällige Suche die optimierte exe.
\sourceon nameDerSprache
n (n-1)! max max / (n-1)!
1 1 1 1 [2]
2 1 2 2 [199, 211]
3 2 6 3 [17769629, 17769643, 17769677] hyperG
4 6 12 2 [496653276961, 496653276989, 496653277019, 496653277037] hyperG
5 24 27 1,125 [7, 11, 13, 17, 19] Primentus
6 120 129 1,075 [3, 5, 7, 11, 13, 17] Primentus
7 720 720 1 [17, 19, 23, 29, 31, 37, 41] Primentus
8 5.040 4.619 0,91647 [29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59] Primentus
9 40.320 38.270 0,94916 [17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47] Primentus
10 362.880 334.618 0,92212 [17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53] Primentus
11 3.628.800 3.374.050 0,92979 [11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47]
12 39.916.800 0,000 []
\sourceoff
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Primentus
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Dabei seit: 18.02.2016
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-04-02
|
Hallo hyperG,
ja, das ist ein interessantes Thema mit den Primzahl-Konkatenationen.
Mit 4 aufeinanderfolgenden Primzahlen ist es tatsächlich etwas hartnäckig. Obwohl der bisherige Rekord bei 12 liegt, bin ich selbst bei der Suche noch nicht über 10 prime Permutationen hinausgekommen.
Ich versuche mitunter noch, für meine Funde aus Beitrag #16 weitere Optimierungen zu finden.
Hallo OlgaBarati,
ja, das ist mir bei der Suche vorhin auch schon aufgefallen, dass bis jetzt mit Ausnahme von 8 Primzahlen immer mindestens $(n-1)!$ prime Permutationen gefunden werden konnten. Ich versuche aber auf jeden Fall noch, verbesserte Funde für n=8 zu finden, um zu sehen, ob es hier auch über die $(n-1)!$ Schwelle geht.
LG Primentus
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hyperG
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-04-02
|
Einen 14er bei den 4rern hatte ich noch nicht:
\sourceon nameDerSprache
14: {101, 103, 107, 407804863289927}
\sourceoff
Für "zufällige Suche" gibt es zu viele Primzahlen. Ich werde mir noch ein paar "häufig auftauchende Enden" anschauen.
Die andere NextPrime-Suche hat immer noch keinen mit 13 Permutationen gefunden!
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Primentus
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-04-02
|
Hallo hyperG,
14 prime Permutationen bei 4 zufälligen Primzahlen sind nicht schlecht, aber es gibt ja auch den 16er, den OlgaBarati schon genannt hat: 3, 7, 53, 73
Ich habe dazu derweil noch einen vielleicht auch eher seltenen 11er gefunden:
11 von 24 bei 460787, 641549, 755437, 959597
LG Primentus
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-04-02
|
Schaut mal die Primzahlen aus Ziffer 4 & 3 (manchmal auch 0):
Das sieht doch hoffnungsvoll aus & ich fand auch schnell einen 15er:
\sourceon nameDerSprache
15: {3, 43, 433, 284237}
\sourceoff
Das geht immer so weiter....
444443
...
(10^31*13-1)/3=43333333333333333333333333333333
...
ergibt auch schnell einen 12er:
12, {3, 43, 444403, 404344433}
Da muss doch noch mehr gehen...
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Primentus
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Dabei seit: 18.02.2016
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-04-02
|
Hallo hyperG,
ja, ist auf jeden Fall ein guter Hinweis.
Ich habe allerdings auch folgende recht gute Funde für 4 zufällige Primzahlen:
12 von 24 bei 7, 11, 67, 79
13 von 24 bei 3, 7, 71, 157
14 von 24 bei 3, 7, 59, 97
LG Primentus
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Primentus
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Dabei seit: 18.02.2016
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo,
ich habe in Beitrag #16 noch Funde zu 9 Primzahlen und zu 10 Primzahlen ergänzt.
LG Primentus
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OlgaBarati
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-03
|
\quoteon(2023-04-02 19:32 - hyperG in Beitrag No. 20)
......
Die andere NextPrime-Suche hat immer noch keinen mit 13 Permutationen gefunden!
\quoteoff
@hyperG
Sehr sehr schwierig. Man könnte eigentlich sofort aufgeben, wären da nicht die 18 von 24 mit zufälligen Primzahlen gefunden worden.
Liste in #18 aktualisiert.
Für $n=9$ Primzahlen bringt es diese Folge
[19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53] noch auf 38.000 prime Permutationen. Danach bisher alle $< 38.000$
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DerEinfaeltige
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Mitteilungen: 3281
 | Beitrag No.26, eingetragen 2023-04-03
|
Rein naiv stochastisch betrachtet ergibt eine Abschätzung mit Primzahlsatz und Binomialverteilung, dass die 18 von 24 um großzügig abgerundete 10 Größenordnungen wahrscheinlicher sind als die vollen 24 von 24.
Eine zufällige Suche würde ich daher als wenig erfolgversprechend beurteilen.
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OlgaBarati
Aktiv
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Mitteilungen: 241
| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-03
|
Mit $n=7$ und aufeinanderfolgende Primzahlen der Form $6m+1$
kommt man auf wenig spektakuläre 721 😄 prime Permutationen.
\[ [7, 13, 19, 31, 37, 43, 61]\]
\quoteon(2023-04-03 12:31 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 26)
Rein naiv stochastisch betrachtet ergibt eine Abschätzung mit Primzahlsatz und Binomialverteilung, dass die 18 von 24 um großzügig abgerundete 10 Größenordnungen wahrscheinlicher sind als die vollen 24 von 24.
Eine zufällige Suche würde ich daher als wenig erfolgversprechend beurteilen.
\quoteoff
Hallo DerEinfaeltige,
das klingt so wirklich nicht nach einer Aussicht auf Erfolg.
Vielen Dank für die Abschätzung. Spart Zeit und Strom 🙂.
\quoteon(2023-04-03 10:42 - OlgaBarati in Beitrag No. 25)
\quoteon(2023-04-02 19:32 - hyperG in Beitrag No. 20)
......
Die andere NextPrime-Suche hat immer noch keinen mit 13 Permutationen gefunden!
\quoteoff
@hyperG
Sehr sehr schwierig. Man könnte eigentlich sofort aufgeben, wären da nicht die 18 von 24 mit zufälligen Primzahlen gefunden worden.
\quoteoff
\quoteoff
Damit meinte ich (unglücklich formuliert), dass hyperG mit seiner systematischen Suche nach nicht aufeinanderfolgenden, quasi zufälligen Primzahlen schon ein Ergebnis für 18 von 24 gefunden hat, und es vielleicht doch noch möglich ist, wenigstens 13 von 24 für aufeinanderfolgende Primzahlen zu finden.
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Primentus
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| Beitrag No.28, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo,
ich habe noch folgende Verbesserungen gefunden, die ich bereits in Beitrag #16 aktualisiert habe:
9 zufällige Primzahlen:
31149 von 362880 bei 3, 7, 13, 79, 89, 199, 683, 907, 929
32656 von 362880 bei 7, 11, 43, 67, 79, 89, 97, 269, 587
32857 von 362880 bei 3, 7, 11, 53, 59, 751, 839, 863, 929
34139 von 362880 bei 3, 5, 7, 11, 17, 29, 59, 83, 127
36251 von 362880 bei 7, 11, 29, 37, 47, 71, 79, 89, 97
10 aufeinanderfolgende Primzahlen:
333083 von 3628800 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61
10 zufällige Primzahlen:
233011 von 3628800 bei 11, 53, 97, 163, 373, 401, 569, 659, 821, 997
282352 von 3628800 5, 7, 11, 37, 41, 53, 89, 97, 457, 557
283911 von 3628800 bei 3, 5, 7, 19, 37, 41, 67, 83, 439, 491
305064 von 3628800 3, 13, 37, 43, 47, 53, 71, 79, 89, 769
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.29, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo,
ich konnte nochmals eine Verbesserung erzielen für 10 aufeinanderfolgende Primzahlen - und zwar von 333083 auf:
334618 von 3628800 bei 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.30, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo,
und ich habe nochmals verbesserte Funde.
8 zufällige Primzahlen:
4703 von 40320 bei 2, 3, 7, 11, 17, 59, 73, 97
5332 von 40320 bei 3, 7, 11, 17, 29, 37, 43, 59
9 zufällige Primzahlen:
36558 von 362880 bei 3, 5, 7, 11, 37, 61, 67, 79, 89
36805 von 362880 bei 3, 11, 29, 37, 53, 59, 67, 83, 97
38136 von 362880 bei 2, 3, 7, 11, 17, 29, 53, 61, 71
@OlgaBarati:
Damit ist auch für 8 Primzahlen gezeigt, dass das Erreichen oder Überschreiten der $(n-1)!$ Schwelle möglich ist - auch wenn es sich zunächst noch um zufällige und nicht aufeinanderfolgende Primzahlen handelt.
LG Primentus
P.S.: Die weiteren Funde sind alle in Beitrag #16 eingetragen.
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Primentus
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| Beitrag No.31, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo,
ich habe allerdings gerade festgestellt, dass ich nicht ausschließen kann, dass unter den $n$ Primzahlen, die mein Algorithmus anfangs generiert, manche davon mehrfach vorkommen (betrifft nur den Fall der zufälligen Primzahlen, nicht jedoch der aufeinanderfolgenden Primzahlen).
Mein Algorithmus für zufällige Primzahlen arbeitet wie folgt (Beispiel für $n$=4):
1. Erzeuge $n$ Zufallszahlen, z. B. 12, 20, 37, 38
2. Um sicherzustellen, dass die $n$ Zahlen prim sind, bilde jeweils NextPrime einer jeden Zufallszahl, also hier 13, 23, 41, 41
3. Ermittle, wie viele Konkatenationen (Permutationen) der Primzahlen aus Schritt 2 prim sind.
Durch Schritt 2 ist es möglich, dass ggf. mehrfach die gleiche Primzahl generiert wird (hier doppeltes Vorkommen der 41) als Grundlage für die Permutationen. Ich weiß nicht, ob das unbedingt ausgeschlossen werden soll/muss. Vielleicht wäre es besser gewesen, diesen Fall zu unterbinden, aber vorerst lasse ich meinen Algorithmus erstmal so weiterlaufen. Habt ihr dieses Problem anders gelöst?
Natürlich könnte man auch von Haus aus n-mal Prime(Zufallszahl) aufrufen, um n vermeintlich verschiedene prime Zufallszahlen zu generieren, aber um auch hier doppelte Primzahlen zu vermeiden, müsste man die n Primzahlen jedesmal nochmal prüfen, bevor man die Bildung der Permutationen beginnt.
Wie seht ihr das? Ist diese Problematik wichtig, bzw. muss das mehrfache Vorkommen derselben Primzahlen in jedem Fall verhindert werden? (In jedem Fall sind es aber insgesamt immer exakt $n$ Primzahlen, die zugrunde gelegt werden, und nicht mehr.)
LG Primentus
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hyperG
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| Beitrag No.32, eingetragen 2023-04-03
|
\quoteon(2023-04-03 22:52 - Primentus in Beitrag No. 31)
...
Wie seht ihr das? Ist diese Problematik wichtig, bzw. muss das mehrfache Vorkommen derselben Primzahlen in jedem Fall verhindert werden?
LG Primentus
\quoteoff
Ja, für mich sehr wichtig, da wir ja teilweise schon anfingen, bei der Suche NextPrime durch "irgendeine Prime" zu ersetzen.
Primzahlen dann auch noch bei der String-Addition doppelt zulassen ist dann eindeutig nicht mehr "Permutation"!
Ich muss eine Aussage zu "...NextPrime-Suche hat immer noch keinen mit 13 Permutationen" konkretisieren:
Da ich aus Geschwindigkeitsgründen die "Untersuche eines 4er Blockes" sofort abbreche, sobald eine NICHT-Prime dabei ist, wurde die Hürde
StringAdd(p3,p1,p2,p4) noch nicht überwunden. Das bedeutet aber nicht, dass alle anderen Kombinationen
\sourceon nameDerSprache
p3,p1,p4,p2|p3,p2,p1,p4|p3,p2,p4,p1|p3,p4,p1,p2|p3,p4,p2,p1|p4,p1,p2,p3|p4,p1,p3,p2|p4,p2,p1,p3|p4,p2,p3,p1|p4,p3,p1,p2|p4,p3,p2,p1
\sourceoff
auch NICHT-prime waren! (es wurde einfach nicht überprüft)
Vielleicht sollte ich diese eine Kombination ganz an das Überprüfungsende stellen, da sie extrem selten zu sein scheint...
(dann müsste ich aber die laufende Suche abbrechen und die Abbruchstelle schätzen -> also lasse ich alles bis zur vordefinierten Abbruchstelle laufen)
Grüße
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Primentus
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Dabei seit: 18.02.2016
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| Beitrag No.33, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo hyperG,
ich muss noch dazu sagen, dass die Fälle, in denen eine Primzahl doppelt oder mehrfach vorkommt, offenbar ungünstig/ungeeignet sind, um Rekordfunde zu erzielen, d. h. je näher die Funde an die Rekordfunde rücken, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Effekt der mehrfach vorkommenden Primzahlen überhaupt auftritt.
Aber ich gebe Dir recht, dass es genau genommen keine Permutationen mehr sind, wenn nicht alle $n$ Zahlen verschieden sind. Insofern werde ich meinen Algorithmus wohl doch nochmal anpassen müssen.
Bei meinen Rekordfunden in Beitrag #16 ist soweit ich das richtig sehe, kein einziger Fall dabei, wo eine Primzahl doppelt oder mehrfach vorkommen würde. Insofern kann ich also schon mal Entwarnung geben, aber bei ein paar anderen Funden während meiner Suche habe ich diesen Effekt nun beobachtet.
Zu Deinem Problem:
Ja, da brichst Du offenbar zu früh ab bei den 4er-Permutationen, was sich hinderlich im Hinblick auf die Rekordsuche auswirkt. Ist sicherlich ein wenig ärgerlich, aber trotzdem können auf diese Weise ja sehr gute Funde erzielt werden, wenn die Konstellation passt.
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.34, eingetragen 2023-04-03
|
Hallo,
folgenden neuen Rekordfund habe ich noch zu bieten (auf den die in Beitrag #31 geschilderte Problematik nicht zutrifft):
9 zufällige Primzahlen:
39447 von 362880 bei 3, 7, 11, 37, 41, 43, 47, 53, 59
Ist auch in Beitrag #16 eingetragen.
LG Primentus
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OlgaBarati
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| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-04
|
\quoteon(2023-04-03 22:00 - Primentus in Beitrag No. 29)
Hallo,
ich konnte nochmals eine Verbesserung erzielen für 10 aufeinanderfolgende Primzahlen - und zwar von 333083 auf:
334618 von 3628800 bei 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53
LG Primentus
\quoteoff
Gratuliere zu den vielen neuen Rekorden.
Der hier zitierte, für 10 aufeinanderfolgende Primzahlen, wurde in #18 übernommen.
Für $n=8$ sind die 5332 primen Permutationen ein bemerkenswerter Fund.
Die Frage, ob doppelte Primzahlen verwendet werden können, würde ich auch nicht
befürworten.
Hier läuft gerade eine Suche für $4!$ mit Primzahlen bestehend nur aus den Ziffern $1,3,7$ liefert bisher nichts über 13.
\sourceon
p= ['3', '7', '71', '137'] elemente= 13 [1373717, 1377137, 1377371, 1377713, 3711377, 3713771, 3771137, 7113773, 7137371, 7173137, 7371137, 7711373, 7713137]
p= ['3', '7', '73', '7331'] elemente= 13 [37331773, 37373317, 37377331, 37733173, 73317337, 73317373, 73317373, 73317733, 73733137, 73773313, 77331733, 77337331, 77373313]
p= ['3', '73', '131', '7717'] elemente= 13 [1313737717, 1313771773, 1317337717, 3131737717, 3737717131, 3771713173, 7313177173, 7331317717, 7337717131, 7377171313, 7377173131, 7717131733, 7717313173]
p= ['7', '73', '733', '3331'] elemente= 13 [3331733737, 3331737337, 3331737733, 3331773733, 7333173373, 7333173733, 7337333317, 7337373331, 7337733331, 7377333331, 7733331733, 7733333173, 7733733331]
p= ['31', '131', '313', '373'] elemente= 13 [13131373313, 13137331313, 13137331331, 31131313373, 31131373313, 31313131373, 31313131373, 31313373131, 31337313131, 31373131313, 31373313131, 37313131313, 37331331131]
p= ['131', '337', '1171', '1777'] elemente= 13 [11711311777337, 13111711777337, 13133711711777, 13133717771171, 17771171337131, 17771311171337, 17771313371171, 17773371171131, 33711711311777, 33713111711777, 33713117771171, 33717771171131, 33717771311171]
p= ['173', '773', '113371', '137177'] elemente= 13 [113371173137177773, 113371173773137177, 113371773137177173, 113371773173137177, 137177113371173773, 137177113371773173, 137177173113371773, 137177773113371173, 137177773173113371, 173113371773137177, 773113371173137177, 773137177113371173, 773137177173113371]
\sourceoff
Edit:
Eine Suche ausschließlich mit Primzahlen ungerader Quersumme hat noch diesen 15er gefunden: [3, 113, 571, 683]
[7, 593, 2357, 2531] bringt es auf 16.
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Primentus
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| Beitrag No.36, eingetragen 2023-04-04
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Hallo OlgaBarati,
ich habe noch folgende verbesserte Funde für 9 zufällige Primzahlen gefunden:
39559 von 362880 bei 3, 7, 11, 17, 53, 67, 79, 83, 89
40002 von 362880 bei 3, 7, 11, 29, 37, 53, 59, 71, 89
40947 von 362880 bei 3, 7, 11, 13, 17, 47, 53, 71, 97
41486 von 362880 bei 3, 7, 11, 17, 29, 37, 47, 59, 73
Damit ist auch für n=9 gezeigt, dass die $(n-1)!$ Schwelle überschritten werden kann, wenn auch noch nicht für 9 aufeinanderfolgende Primzahlen, aber dafür für 9 zufällige (selbstverständlich verschiedene) Primzahlen.
\quoteon(2023-04-04 12:11 - OlgaBarati in Beitrag No. 35)
Die Frage, ob doppelte Primzahlen verwendet werden können, würde ich auch nicht
befürworten.
\quoteoff
Ok, dann werde ich ab sofort darauf achten, dass von mir nur Funde genannt werden, bei denen die $n$ Primzahlen alle verschieden sind. Dies ist aber bereits auch für alle bisher von mir genannten Funde und Rekordfunde sichergestellt.
Theoretisch kann ich meinen Algorithmus auch so lassen, wie er jetzt ist. Ich darf dann nach wie vor nur keine Funde herausgeben, bei denen eine Primzahl doppelt oder mehrfach vorkommt.
LG Primentus
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OlgaBarati
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| Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-04
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Hallo Primentus,
klasse dass mit deinen neuesten Funden alle $n\leq 9$ (für paarweise verschiedene Primzahlen) die Schwelle $(n-1)!$ erreicht und überwunden haben.
Habe gerade noch einmal Beitrag #18 überfolgen und festgestellt, dass für $n=2$ (aufeinanderfolgende Primzahlen) $[3, 7]$ eingetragen sind. Das stimmt natürlich nicht. Erst $[199, 211]$ erfüllen diese Voraussetzung. Passe ich an.
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OlgaBarati
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Mitteilungen: 241
| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-05
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Hallo,
für $n=11$ (aufeinanderfolgende Primzahlen) habe ich in #18 einen ersten Zwischenstand hinzugefügt.
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Primentus
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| Beitrag No.39, eingetragen 2023-04-06
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Hallo OlgaBarati,
schön, dass es für $n=11$ auch schon ein gut 92%iges Erreichen der $(n-1)!$ Schwelle gibt.
Ich habe noch einen verbesserten Fund zu 10 zufälligen Primzahlen:
321938 von 3628800 bei 3, 5, 11, 19, 29, 31, 59, 71, 79, 97
(ist in Beitrag #16 eingetragen)
LG Primentus
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