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 Erweiterungsgrad eines Zerlegungskörpers |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1909
 |  Themenstart: 2023-03-31
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Hallo Zusammen,
An folgendem Satz bin ich hängengeblieben:
Sei $\overline{\mathbb{F}_p}$ ein algebraischer Abschluss von $\mathbb{F}_p$. Für jedes $d$ existiert eine Einzige Untererweiterung von $\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p$ des Grades $d$, $\mathbb{F}_{p^d}$ genannt.
Die Erweiterung $\mathbb{F}_{p^d}/\mathbb{F}_p$ ist der Nullstellenkörper des Polynomes $X^{p^d}-X$.
Am Beweis verstehe ich vieles nicht, aber zuerst ein Beispiel.
Am Beispiel $\mathbb{F}_4/\mathbb{F}_2$ geht es mir auf, am Beispiel $\mathbb{F}_8/\mathbb{F}_2$ jedoch nicht. Deswegen wird die Argumentation bei $\mathbb{F}_4/\mathbb{F}_2$ auch falsch sein, obwohl ich das richtige Resutlat erhalte.
Beispiel: $\mathbb{F}_4/\mathbb{F}_2=\mathbb{F}_{2^2}/\mathbb{F}_2$ ist der Nullstellenkörper von $X^4-X$.
Um den Erweiterungsgrad zu bestimmen bemerkt man, dass dieses Polynom nicht irrezuzibel ist über $\mathbb{F}_2$. Es gilt:
$X^4-X=X(X-1)(X^2+X+1)$. Somit gilt für den Erweiterunggrad: $[\mathbb{F}_4:\mathbb{F}_2]=2$ stimmt!
Beispiel: $\mathbb{F}_8/\mathbb{F}_2=\mathbb{F}_{2^3}/\mathbb{F}_2$ ist der Nullstellenkörper von $X^8-X$.
Es gilt:
$X^8-X=X(X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)$. Somit gilt für den Erweiterunggrad: $[\mathbb{F}_8:\mathbb{F}_2]\ge 6$. "Grösser gleich" deswegen, weil eventuell mehrere Nullstellen des Polynomes für die Erweiterung berücksichtigt werden müssen. Dann wäre der Erweiterungsgrad sogar noch grösser als 6.
Stimmt nicht. Ich weiss, dass $[\mathbb{F}_8:\mathbb{F}_2]=3$
Wo liegt mein Überlegungsfehler?
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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 412
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-31
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Hallo sulky,
das Polynom $X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]$ ist nicht irreduzibel, sondern es ist $(X^3+X^2+1) \cdot (X^3+X+1)$.
Gruß,
David
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1909
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-31
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Hallo David,
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ja, dass das Polynom nicht irreuzbel ist, das ist mir entgangen.
Trotzdem ist es erstaunlich und ich bin unsicher, ob meine Argumentation stimmt. $(X^3+X^2+1) \cdot (X^3+X+1)$ ist das Produkt zweier Polynome, welche nicht gleich sind. Da geht man doch primär einmal von 6 Nullstellen aus.
Sei z.B. $\theta$ eine Nullstelle von $(X^3+X^2+1)$. Sind denn zwangsweise alle Nullstellen des anderen Polynomes $(X^3+X+1)$ in $\mathbb{F}_2(\theta)$ enthalten?
Grundsätzlich lese ich aus der Zerlegung des Polynomes, dass $[\mathbb{F}_8:\mathbb{F}_2]\ge 3$. Stimmt das soweit?
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DavidM
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-31
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Hallo sulky,
ja, das stimmt, man kann an dieser Stelle erstmal nur sagen, dass $[\mathbb{F}_8:\mathbb{F}_2] \geq 3$ ist.
Wenn $\alpha$ eine Nullstelle von $X^3+X+1$ ist, dann ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, $\theta = 1+\alpha$ eine Nullstelle von $X^3+X^2+1$. Jeder Körper, der $\theta$ enthält, enthält also auch $\alpha$. Was wir natürlich auch noch zeigen müssen, ist, dass $\mathbb{F}_2(\theta)$ auch die anderen beiden Nullstellen von $X^3+X^2+1$ enthält. Das kann man sicher auch nachrechnen, ich habe mir aber gerade noch nicht überlegt, wie.
Gruß,
David
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-08
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Da fällt mir gerade auf, dass mein letzter Beitrag irgendwie leer war.
Aber nun bin ich auf eine Aufgabe genau zu diesem Thema gekommen.
Sei $\mathbb{F}_2$ und $P=X^5+X^4+1\in\mathbb{F}_2[X]$.
Sei $K=\mathbb{F}_{2^t}$ der Körper der Nullstellen des Polynomes $P$. Bestimme $t$.
Auch hier stelle ich fest, dass $P$ nicht irreduzierbar ist. Es gilt:
$P=(X^3+X+1)(X^2+X+1)$. Sei nun $\theta\in\overline{\mathbb{F}_2}$, Nullstelle von $(X^3+X+1)$.
Jetzt behaupte ich, dass $t=3$ genau dann gilt, wenn alle Nullstellen von $(X^3+X+1)$ und von $(X^2+X+1)$ in $\mathbb{F}_2(\theta)$ liegen. Stimmt das soweit?
Dies ist aber nicht der Fall, denn $\mathbb{F}_2(\theta)=\{0,1,\theta,1+\theta\}$ und $0,1$ sind offensichtlich keine Nullstellen und $(\theta+1)^3+(\theta+1)+1 =\theta^3+\theta^2+1\neq 0$.
Somit ist $t$ strikt grösse 3. Stimmt das?
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DavidM
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Mitteilungen: 412
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-04-08
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\quoteon(2023-04-08 17:39 - sulky in Beitrag No. 5)
Sei $\mathbb{F}_2$ und $P=X^5+X^4+1\in\mathbb{F}_2[X]$.
Sei $K=\mathbb{F}_{2^t}$ der Körper der Nullstellen des Polynomes $P$. Bestimme $t$.
Auch hier stelle ich fest, dass $P$ nicht irreduzierbar ist. Es gilt:
$P=(X^3+X+1)(X^2+X+1)$. Sei nun $\theta\in\overline{\mathbb{F}_2}$, Nullstelle von $(X^3+X+1)$.
Jetzt behaupte ich, dass $t=3$ genau dann gilt, wenn alle Nullstellen von $(X^3+X+1)$ und von $(X^2+X+1)$ in $\mathbb{F}_2(\theta)$ liegen. Stimmt das soweit?
\quoteoff
Soweit ist alles richtig.
\quoteon
Dies ist aber nicht der Fall, denn $\mathbb{F}_2(\theta)=\{0,1,\theta,1+\theta\}$
\quoteoff
Das ist falsch. Es ist $\theta^2 \in \mathbb{F}_2(\theta)$, weil $\mathbb{F}_2(\theta)$ ein Körper ist, aber $\theta^2 \notin \{0,1,\theta,1+\theta\}$, weil $\theta$ eine Nullstelle von einem irreduziblen Polynom vom Grad $3$ über $\mathbb{F}_2$ ist. Damit besteht also $\mathbb{F}_2(\theta)$ gerade aus den Elementen $a \theta^2 + b \theta +c$ mit $a,b,c \in \mathbb{F}_2$.
\quoteon
Somit ist $t$ strikt grösse 3. Stimmt das?
\quoteoff
Tatsächlich liegen alle drei Nullstellen von $X^3+X+1$ in $\mathbb{F}_2(\theta)$ (das folgt ziemlich direkt aus dem Satz, den du im Startbeitrag zitiert hast), aber die Nullstellen von $X^2+X+1$ liegen nicht in $\mathbb{F}_2(\theta)$, also ist tatsächlich $t>3$.
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sulky
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-08
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Hallo David,
Vielen Dank für die erneute schnelle Antwort.
Ja genau. Erweiterungsgrad $3$ erzwingt, dass die Basis aus drei Vektoren besteht.
$\mathbb{F}_2(\theta)=\{0,1,\theta,\theta^2, 1+\theta,1+\theta^2,\theta+\theta^2,1+\theta+\theta^2\}$
Ich fand keinen schnelleren Weg, als alle 8 durchzuprobieren, um festzustellen, dass $X^2+X+1=0$ für keines dieser 8 Elemente gilt.
Aber den Rest glaube ich dank deiner Hilfe verstanden zu haben.
Weil $\mathbb{F}_{2^3}$ der Nullstellenkörper von $X^{2^3}-X=X(X-1)(X^3+X+1)(X^3+X^2+1)$ ist, sind alle Nullstellen von $X^3+X+1$ in $\mathbb{F}(\theta)$ enthalten.
Weiter ist $\lambda$ eine Nullstelle von $X^2+X+1$. Dann ist.
$\mathbb{F}_{2^t}=\mathbb{F}_2(\theta)(\lambda)$
und $t=[\mathbb{F}_2(\theta)(\lambda):\mathbb{F}_2]=6$
Stimmt das?
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DavidM
Senior
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Mitteilungen: 412
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-04-09
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Ja, das ist alles richtig so.
\quoteon(2023-04-08 22:06 - sulky in Beitrag No. 7)
Ich fand keinen schnelleren Weg, als alle 8 durchzuprobieren, um festzustellen, dass $X^2+X+1=0$ für keines dieser 8 Elemente gilt.
\quoteoff
Dafür gibt es noch ein schöneres Argument: Angenommen, es gibt ein $\lambda \in \mathbb{F}_2(\theta)$, das eine Nullstelle von $X^2+X+1$ ist. Weil $X^2+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]$ irreduzibel ist, ist dann $[\mathbb{F}_2(\lambda):\mathbb{F}_2]=2$. Aber wegen $\lambda \in \mathbb{F}_2(\theta)$ ist $\mathbb{F}_2(\lambda) \subseteq \mathbb{F}_2(\theta)$, also erhalten wir $3=[\mathbb{F}_2(\theta):\mathbb{F}_2]=[\mathbb{F}_2(\theta):\mathbb{F}_2(\lambda)] \cdot [\mathbb{F}_2(\lambda):\mathbb{F}_2]=2 \cdot [\mathbb{F}_2(\theta):\mathbb{F}_2(\lambda)]$, Widerspruch.
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