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| Autor |
 Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge |
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broki
Junior 
Dabei seit: 23.05.2023
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2023-05-23
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Hallo! Ich brauche für einen Beweis über completely monotone functions und das Darstellungstheorem von Bernstein die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge (auf $(0,\infty)$) ($t\mapsto (1-\lambda*t/n)_+^{n-1}$ ($a_+:= \max(0,a)$ hier..) gg die exponential funktion, i.e. ($t\mapsto e^{-\lambda*t}$), $\lambda > 0$ fest. Ich komme leider mit elementaren Abschätzungen nicht mehr weiter. Ich wäre sehr dankbar für einen Vorschlag, eventuell übersehe ich hier auch etwas.
mfg
broki
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo broki,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Hilft dir
\( \displaystyle (1-\lambda\cdot \frac{t}{n})_+^{n-1}=\left((1-\lambda\cdot \frac{t}{n})_+^n \right)^\frac{n-1}{n}\) weiter?
Dann hast du auf einem hinreichend großen kompakten Intervall \( [0,N]\) gleichmäßige Konvergenz nach dem Satz von Dini und außerhalb ist die Differenz kleiner als \( 2\cdot e^{-\lambda N}\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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broki
Junior
Dabei seit: 23.05.2023
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
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Danke für die Antwort. Versteh ich das richtig: für \(\epsilon > 0\) wähle N1 groß genug, so dass \(2e^{-\lambda N1} < \epsilon \), dann argumentiert man dass auf dem Kompaktum [0,N1] nach dem genannten Satz von Dini glm. Konvergenz vorliegt, und außerhalb ist der Abstand nach dreiecksungleichung kleiner als \(\epsilon\). Daher bekommt man nach der glm konvergenz auf [0,N1] wieder eine natürliche Zahl N2 sodass die Differenz ab N2 kleiner als \(\epsilon\) wird. man nimmt max(N1,N2), aber hier sehe ich das Problem, dass dann der Abstand außerhalb des Intervalls [0,N1] nicht mehr zwingend kleiner epsilon sein muss. Übersehe ich etwas oder habe ich den Lösungsvorschlag falsch verstanden?
Danke für die Hilfe.
mfg Broki
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Die Idee ist so, wie du es schreibst, aber ich denke, dass die Konvergenz wegen \(\displaystyle 2e^{-\lambda \max\{N1, N2\}}\le 2e^{-\lambda N1} < \epsilon\) auch außerhalb des Interalls kontrolliert werden kann.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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broki
Junior
Dabei seit: 23.05.2023
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
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ich denke leider, dass die funktionenfolge weder monoton fallend, noch monoton wachsen ist, daher kann ich den Satz von Dini nicht anwenden.
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-01
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Hi :)
Für festes $x>0$ wächst $(a_n)_n$ mit $a_n:=(1+x/n)^n$ und für $n>x$ fällt $(b_n)_n$ mit $b_n:=(1-x/n)^n$, wenn ich mich nicht irre.
Hier wird es bewiesen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=30395&post_id=210702
Aber ich habe es mir auch noch nicht angeguckt.
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broki
Junior
Dabei seit: 23.05.2023
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-02
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danke für die Antwort.
Aber wenn ich gleichmäßige Konvergenz will, kann ich ja nicht n>x wählen, dadurch würde ich ja für jedes feste x>0 eine natürliche Zahl bekommen, die aber nicht unabhängig von x ist...
mfg broki
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ochen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-02
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Hm, naja, der Satz von Dini sagt ja gerade aus, wenn $(f_n)_n$ eine Folge stetiger Funktionen auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ ist und $(f_n(x))_n$ für jedes feste $x\in [a,b]$ monoton ist und eine stetige Grenzfunktion existiert (bzgl. punktweiser Konvergenz), dann konvergiert $(f_n)_n$ gleichmäßig.
Bei der Monotonie darfst du das $x$ aus dem Intervall fest wählen. Es muss eben für alle $x$ gelten. https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Dini
Ich hoffe, ich habe keinen Fehler gemacht.
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broki
Junior
Dabei seit: 23.05.2023
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-02
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Die folge ist aber für jedes feste x erst ab einem gewissen index N monoton. Wenn es eine feste natürliche Zahl gäbe ,dann könnte ich ja die Folge erst ab dieser betrachten, was die gleiche Konvergenz ergäbe, aber ich sehe nicht, dass das möglich ist. Weil eben wie oben erwähnt müsste ich für festes x, n>x wählen... also wenn ich keinen Fehler mache, kann ich den Satz von Dini nicht anwenden, weil ich keine feste Funktionenfolge habe sondern für jedes x die folge erst ab einem anderen index beginnen dürfte. Habe ich einen Denkfehler ? Danke für die Hilfe!
mfg broki
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ochen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-02
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Aber endlich viele $n$ spielen doch überhaupt keine Rolle. Wir betrachten die Folge $(f_n)_n$, wobei die Funktionen $f_n\colon [a,b]\to\mathbb R$ stetig sein sollen. Weiter gelte $f_{n+1}(x)>f_n(x)$ für alle $x\in \mathbb R$ und alle $n>x$. Und die Funktion $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ sei stetig. Dann betrachten wir die Folge $(\tilde f_n)_n$ mit $\tilde f_n:=f_{n+\lceil b\rceil}$. Also im Prinzip erst für alle $n>b$.
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