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 Untervektorraum nachweisen |
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Lillyas
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Dabei seit: 28.05.2023
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2023-05-28
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Guten Abend!
Ich habe Probleme, die Untervektorraumeigenschaften nachzuweisen.
Ich hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen :-)
Aufgabe:
Gegeben seien die Mengen $U_{1} := \left \{ x = (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{Z}^{n}_{2} \; \vert \; \vert \{ i\; \vert \; x_{i} = 1 \} \vert \equiv 3\; \text{mod}\; 5 \right \}$ und $U_{2} := \left \{ x = (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{Z}^{n}_{2} \; \vert \; \vert \{ i\; \vert \; x_{i} = 1 \} \vert \equiv 0\; \text{mod}\; 2 \right \}$
Für welche $n \in \mathbb{N}$ sind $U_{1}$ und $U_{2}$ Untervektorräume von $\mathbb{Z}^{n}_{2}$?
Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
Bei $U_{1}$ ist das neutrale Element in $\mathbb{Z}^{n}_{2}$, nämlich $(0 0 \ldots 0)$, nicht enthalten. Also ist $U_1$ für kein einziges $n \in \mathbb{N}$ ein Untervektorraum von $\mathbb{Z}^{n}_{2}$?.
Bei $U_{2}$ wird es schon schwieriger. Da vermute ich, dass die Menge für alle $n \in \mathbb{N}$ ein Untervektorraum von $\mathbb{Z}^{n}_{2}$. Dazu überprüfe ich, ob das Untervektorraumkriterium erfüllt ist.
1.) $U_{2}$ ist nicht leer, da das neutrale Element in $\mathbb{Z}^{n}_{2}$, nämlich $(0 0 \ldots 0)$,enthalten ist.
2.) $\lambda u \in U_{2}$
Sei nun $\lambda \in \mathbb{Z}_{2}$ und $u = (u_{1}, u_{2}, \ldots u_{n}) \in U_{2}$.
Definiere $A := \vert \{ i\; \vert \; u_{i} = 1 \} \vert$
Das bedeutet: $\lambda \in \{ 0, 1 \}$ und $A \equiv 0\; \text{mod}\; 2$
Offensichtlich ist $\lambda \cdot u \in \{ (0 0 \ldots 0), u \}$.
Also ist $\lambda \cdot u \in U_{2}$
3.) $u + v \in U_{2}$
An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich den Beweis weiterführen soll. Intuitiv ist mir klar, dass $u + v \in U_{2}$, aber ich weiß nicht, wie ich das ganze mathematisch formulieren und formalisieren kann.
Freue mich auf Tipps :)
Viele Grüße, Lilly
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ligning
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-30
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Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!
Deine Überlegungen zum neutralen Element sind richtig. $U_1$ ist also kein UVR. Den Teil mit der Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation mag ich nicht so. Du definierst da erst ein paar Hilfsmittel, die du dann gar nicht benutzt, weil du feststellst, dass $\lambda u$ sowieso entweder der Nullvektor oder $u$ selbst ist.
Zur Abgeschlossenheit unter Addition können ähnliche Hilfsmittel aber sehr nützlich sein, z. B. sowas wie $a = |\{i\mid u_i = 1, v_i = 0\}|$ und ähnliches. Stelle damit Gleichungen auf, die beschreiben, dass ein Element in $U_2$ liegt. Das ist eigentlich ziemlich leicht, man muss sich nur die Hände ein bisschen schmutzig machen, deshalb will ich es bei diesem Hinweis belassen.
Ein anderer Ansatz ist, ein Element in $\IZ_2^n$ als Beschreibung einer Teilmenge von $\{1,\ldots,n\}$ anzusehen und die Vektoraddition als Mengenoperation zu interpretieren. Den Beweis muss man so nicht führen, aber vielleicht hilft es bei der Ideenfindung.
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2023-09-30 22:43 U ?
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