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 Hermitesche Matrizen |
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Bertand
Junior 
Dabei seit: 30.05.2023
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2023-05-30
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Hallo liebe Community,
könnte mir jemand bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen?
Teil a) habe ich bereits über die Determinante und die #Basisvektoren = Dimension gezeigt.
Bei Teil b) und c) habe ich so meine Schwierigkeiten.
Vielen Dank vorab!
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56378_Bildschirmfoto_2023-05-30_um_10.51.24.png
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cisfinite
Aktiv 
Dabei seit: 31.01.2023
Mitteilungen: 76
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-30
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b) "$ \Leftarrow$": Probiere folgende Eigenschaften der Spur zu verwenden:
1. Linearität: $\operatorname{Tr}(A+B)=\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B)$,
2. Vertauschbarkeit:$\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$.
"$\Rightarrow$": Schreibe die $2 \times 2$-Matrizen explizit hin, also
\[
A = \left( \begin{matrix} a & \overline{b} \\ b & -a\\ \end{matrix} \right), B = \left( \begin{matrix} c & \overline{d} \\ d & -c\\ \end{matrix} \right),
\]
Bilde $AB+BA$ und verwende die Voraussetzung hinsichtlich der Spur.
c) ergibt sich durch Nachrechnen aus b)
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Bertand
Junior
Dabei seit: 30.05.2023
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-31
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Hallo cisfinite,
vielen Dank für deine Antwort!
Könntest du das konkretisieren, was du genau meinst mit:
"verwende die Voraussetzung hinsichtlich der Spur".
Ich habe nun die Rechnung für AB+BA mit den konkreten Matrizen aufgestellt und weiß leider nicht genau, wie mir das weiterhilft.
Da AB+BA = 0 sein soll, habe ich ausgerechnet, dass dies der Fall ist, wenn:
1. ac = -bd (hier ist das b komplex konj.)
2. ac = -bd (hier ist das d komplex konj.)
Vielen Dank vorab für deine Mühe!
Viele Grüße.
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-31
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Hallo,
wenn du zeigen willst, dass $\operatorname{Tr}(AB)=0$ aus $AB+BA=O$ folgt, nutzt du die Linearität
\[\operatorname{Tr}(AB+BA)=\operatorname{Tr}(AB)+\operatorname{Tr}(BA)\]
und die Vertauschbarkeit
\[
\operatorname{Tr}(AB)+\operatorname{Tr}(BA)=\operatorname{Tr}(AB)+\operatorname{Tr}(AB)=2\operatorname{Tr}(AB).
\]
Für die andere Richtung ist $\operatorname{Tr}(AB)=0$ "die Voraussetzung hinsichtlich der Spur". Dafür weißt du aber noch nicht, dass $AB+BA=O$ gilt.
Zeige also, dass
\quoteon(2023-05-31 08:01 - Bertand in Beitrag No. 2)
1. $ac = -\overline bd$
2. $ac = -b \overline d$
\quoteoff
aus $\operatorname{Tr}(AB)=0$ folgt. (Du musst nur 1. oder 2. zeigen, da beide Gleichungen äquivalent sind. Beachte, dass $ac$ reell ist und dass $\overline bd=\overline{b \overline d}$)
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| Bertand hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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