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 Differentialgleichung u` = u² + t² |
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ramy69
Aktiv 
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 |  Themenstart: 2023-05-31
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$u´=u^2+t^2$
Ich wollte diese DGL mit Substitution lösen mit $z=u^-1$ allerdings komme ich nicht weiter. Ist das der richtige Ansatz? Oder gibt es einen anderen?
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-31
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Hallo
https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung
Du müsstest aber erst eine einzelne Lösung finden.
Ich habe aber den Verdacht, dass die allggemeine Lösung nur über die Besselfunktion möglich ist, also nicht geschlossen elementar. Wie lautet die Orginalaufgabe?
Gruß Caban
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ramy69
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-31
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Ob die Lösung u des AWP global ist. das ist die Aufgabe. u(0)=0
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ramy69
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
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Muss hier eventuell irgendwie mit Picard Lindelöf verfahren? Aber den Satz hab ich wahrlich nicht ganz verstanden :D
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Diese Dgl. hat keine elementare Lösung.
Du sollst die auch nicht lösen, sondern die Lösung abschätzen um nachzuweisen, dass sie global ist oder eben auch nicht.
Fang mal an mit einer Abschätzung auf \( [0,2]\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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ramy69
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
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Vielleicht denke ich zu kompliziert, aber wie soll ich da denn was abschätzen? :(
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Wally
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Naja, auf \( [0,2]\) mit \( u'\ge t^2\) und auf \( [2,\infty[\) mit \( u'\ge u^2 \).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-01
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Hi, so sehr viel Ahnung habe ich nicht. Die folgende Argumentation ist nicht ganz sauber.
Nehmen wir an, es gäbe eine globale Lösung. Es gilt
\[
u(t)=\int_0^tu'(x)dx=\int_{0}^{t}u(x)^2+x^2dx\geq \int_{0}^{t}x^2dx =\frac 13 t^3.
\]
Insbesondere ist somit $u(t)>0$ für $t>0$. Sei $u_1:=u(1)\geq\frac 13$, so gilt für alle $t>1$
\[
\begin{align*}
t-1&=\int_1^tdx\\
&=\int_{1}^{t}\frac{u'(x)}{u(x)^2+x^2}dx\\
&<\int_{1}^{t}\frac{u'(x)}{u(x)^2}dx\\
&=-\frac{1}{u(t)}-\left(-\frac{1}{u_1}\right)\\
&=-\frac{1}{u(t)}+\frac{1}{u_1}\\
&\leq-\frac{1}{u(t)}+3 .
\end{align*}
\]
Somit folgt
\[
u(t) >\frac{1}{4-t}
\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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ramy69
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-03
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Vielen Dank Ochen! Damit folgt dann, dass es keine globale Lösung gibt, sondern nur eine lokale oder?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4975
 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-03
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\quoteon(2023-06-03 17:51 - ramy69 in Beitrag No. 8)
Damit folgt dann, dass es keine globale Lösung gibt, sondern nur eine lokale oder?
\quoteoff
So ist es. Das folgt allerdings aus Wallys Ansatz wesentlich einfacher.
--zippy
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2023-09-23 02:00 U P <
2023-09-22 22:09 U ?
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