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 Würfel der Kantenlänge 5 aus Y-Pentaminos |
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gonz
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 |  Themenstart: 2023-06-07
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Hallo zusammen,
ich habe ein nettes Spielzeug geschenkt bekommen. Es besteht aus 25 identischen Teilen, die alle die Form des Y-Pentamino haben. Man soll daraus einen Kubus der Kantenlänge 5 zusammenbauen. Wir haben das heute schon beim Abendessen nebenbei probiert, sind aber (natürlich) gescheitert. Wer mag, kann gerne mitbasteln (natürlich ohne sich eine Lösung irgendwoher zu suchen). Mir ist auch bisher keine gute Notation eingefallen, wie man die Konstrukte beschreiben könnte...
Grüße und viel Spaß beim Mitknobeln
Gerhard/Gonz
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haribo
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-08
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Je alle 15 ortogonalen schnitte zeichnen?
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gonz
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Ja, sowas hatte ich auch schon überlegt. Es würden auch fünf parallele Schnitte reichen, wenn man die Pentaminos eindeutig einfärbt ...
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haribo
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-08
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_penta1.png
oder so: versuch mit 23/25el
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haribo
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-08
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vier in der ersten zeile, also frontal welche den platz für den roten bürzel freilassen
—-> 24/25el
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_penta2.PNG
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gonz
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Ich versuche gerade, einen möglichen Aufbau Schrittweise isometrisch darzustellen... ist aber noch mühsam.
Zeit hab ich grad, wir haben wieder "die Pest im Haus" und ich hab erstmal alle Termine für die Woche abgesagt...
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haribo
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-08
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24/25el ist wieder die bekannte brain 96% lösung
möglicherweise auch als pareto-prinzip bekannt, 80% einer lösung erfodern unter 50% aufwand, oder anders herum: die letzten 20% dauern nochmal so lange...
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gonz
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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So etwa...
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/36025_isometrie-2.png
Korrektur : Ich füge auf der "Rückseite" noch eine Markierung ein, wo sich auf der gegenüberliegenden Seite der Extrawürfel befindet...
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haribo
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-08
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davon drei aufbau bilder dürfte perfekt sein, wenn du gute lösungen oder teillösungen gefunden hast mit deinem spielzeug
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gonz
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Meint ihr, man kann das "per brain" lösen? was ich immer mal hinkriege sind 23 aus 25 also 92%... die 24 sind mir noch nicht gelungen.
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haribo
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-06-08
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nee ganz im kopf wird das eher nicht gehen
4x4x5 bekommt man gut 100% gefüllt (16 pentas , oberer bildteil in #4 bis zur 4. ebene) und dann passen auch recht schnell 8 weitere in die beiden restflächen, da gibt es mehrere lösungen
danach wird es ein 3D puzzel problem... nix fürn kopf
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AnnaKath
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2023-06-08
|
Huhu gonz,
wie im Schwätz bereits besprochen, hier eine Lösung:
\showon
\sourceon output
Dlx created. Let's start the dance!
Solution found.
[ (0,0,0) - (0,1,0) - (0,2,0) - (0,2,1) - (0,3,0) ]
[ (0,4,0) - (0,4,1) - (0,4,2) - (0,4,3) - (0,3,2) ]
[ (0,4,4) - (0,1,4) - (0,2,4) - (0,3,3) - (0,3,4) ]
[ (0,0,4) - (0,1,3) - (0,0,1) - (0,0,2) - (0,0,3) ]
[ (0,1,1) - (1,0,1) - (1,1,1) - (2,1,1) - (3,1,1) ]
[ (0,1,2) - (1,0,2) - (1,1,2) - (2,1,2) - (3,1,2) ]
[ (1,0,0) - (1,1,0) - (1,2,0) - (1,3,0) - (2,1,0) ]
[ (2,0,0) - (2,0,1) - (2,0,2) - (2,0,3) - (3,0,2) ]
[ (3,0,1) - (4,0,0) - (4,0,1) - (4,0,2) - (4,0,3) ]
[ (3,0,0) - (3,1,0) - (3,2,0) - (3,3,0) - (4,2,0) ]
[ (4,1,0) - (4,1,1) - (4,1,2) - (4,1,3) - (4,2,2) ]
[ (4,3,0) - (4,3,1) - (4,3,2) - (4,3,3) - (3,3,2) ]
[ (4,2,1) - (1,2,1) - (2,2,0) - (2,2,1) - (3,2,1) ]
[ (0,2,2) - (1,2,2) - (2,2,2) - (2,3,2) - (3,2,2) ]
[ (2,3,0) - (2,3,1) - (3,3,1) - (0,3,1) - (1,3,1) ]
[ (1,3,2) - (1,4,1) - (1,4,2) - (1,4,3) - (1,4,4) ]
[ (1,4,0) - (2,4,0) - (3,4,0) - (3,4,1) - (4,4,0) ]
[ (3,4,2) - (4,4,1) - (4,4,2) - (4,4,3) - (4,4,4) ]
[ (2,4,1) - (2,4,2) - (2,4,3) - (2,4,4) - (2,3,3) ]
[ (3,4,3) - (4,2,3) - (3,1,3) - (3,2,3) - (3,3,3) ]
[ (0,2,3) - (1,0,3) - (1,1,3) - (1,2,3) - (1,3,3) ]
[ (3,0,3) - (3,0,4) - (4,0,4) - (1,0,4) - (2,0,4) ]
[ (2,1,3) - (2,1,4) - (3,1,4) - (4,1,4) - (1,1,4) ]
[ (2,2,3) - (2,2,4) - (3,2,4) - (4,2,4) - (1,2,4) ]
[ (1,3,4) - (2,3,4) - (3,3,4) - (3,4,4) - (4,3,4) ]
Program finished after 85 ms.
\sourceoff
\showoff
lg, AK
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gonz
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Ich habe mal angefangen das zu bauen. Ich glaube, anhand des Bildes kann man die ersten Schritte nachvollziehen... Und dann hat doch die Müdigkeit zugeschlagen. Morgen mehr :)
In diesem Bild ist (mindestens) ein Fehler, weshalb ich auch heute Morgen erstmal gegen die Wand gelaufen bin :)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/36025_stage-1A.png
Nachtrag: Meine Nummerierung ist nicht die aus AK's Liste. Der Verwirrnis sind hier Tür und Tor geöffnet...
Gute Nacht...
Gerhard/Gonz
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haribo
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-06-09
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mein versuch es in ein bild zu übertragen, sehr verwirrend , aber die lösung ist nachvollziehbar
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_AF9948B0-D729-4F0F-8934-A41D3AA4BB32.jpeg
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AnnaKath
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-06-09
|
Huhu zusammen,
während ich meinen Code ein wenig gestrafft (und offenbar noch einmal deutlich beschleunigt...) habe, scheint eine zweite Lösung gefunden worden zu sein (jedenfalls sehe ich nicht auf den ersten Blick, dass es die gleiche wie die bereits angegebene sein soll - aber vielleicht ist sie nur rotiert und gespiegelt...)
\showon
\sourceon output
Dlx created. Let's start the dance!
Solution found.
[ (0,0,0) - (1,0,0) - (2,0,0) - (2,0,1) - (3,0,0) ]
[ (4,0,0) - (4,1,0) - (4,2,0) - (4,3,0) - (3,2,0) ]
[ (4,0,1) - (4,1,1) - (4,2,1) - (4,3,1) - (3,2,1) ]
[ (4,4,0) - (1,4,0) - (2,4,0) - (3,4,0) - (3,4,1) ]
[ (4,4,1) - (4,4,2) - (4,4,3) - (4,4,4) - (4,3,3) ]
[ (4,0,3) - (1,0,3) - (2,0,3) - (3,0,3) - (3,0,4) ]
[ (3,0,1) - (3,0,2) - (4,0,2) - (1,0,2) - (2,0,2) ]
[ (4,0,4) - (4,1,3) - (4,1,4) - (4,2,4) - (4,3,4) ]
[ (0,0,4) - (0,1,3) - (0,0,1) - (0,0,2) - (0,0,3) ]
[ (1,0,4) - (1,1,3) - (1,1,4) - (1,2,4) - (1,3,4) ]
[ (0,1,4) - (0,2,4) - (0,3,3) - (0,3,4) - (0,4,4) ]
[ (2,0,4) - (2,1,3) - (2,1,4) - (2,2,4) - (2,3,4) ]
[ (3,4,4) - (3,1,4) - (3,2,4) - (3,3,3) - (3,3,4) ]
[ (3,3,0) - (0,3,0) - (1,3,0) - (2,2,0) - (2,3,0) ]
[ (0,1,0) - (1,1,0) - (1,2,0) - (2,1,0) - (3,1,0) ]
[ (3,1,3) - (4,1,2) - (1,1,2) - (2,1,2) - (3,1,2) ]
[ (3,1,1) - (0,1,1) - (1,0,1) - (1,1,1) - (2,1,1) ]
[ (1,2,1) - (1,3,1) - (2,3,1) - (3,3,1) - (0,3,1) ]
[ (2,2,1) - (2,2,2) - (3,2,2) - (4,2,2) - (1,2,2) ]
[ (4,2,3) - (1,2,3) - (2,2,3) - (2,3,3) - (3,2,3) ]
[ (0,2,0) - (0,2,1) - (0,2,2) - (0,2,3) - (0,1,2) ]
[ (4,3,2) - (1,3,2) - (2,3,2) - (3,3,2) - (3,4,2) ]
[ (0,3,2) - (0,4,0) - (0,4,1) - (0,4,2) - (0,4,3) ]
[ (1,3,3) - (1,4,1) - (1,4,2) - (1,4,3) - (1,4,4) ]
[ (2,4,1) - (2,4,2) - (2,4,3) - (2,4,4) - (3,4,3) ]
Program finished after 22 ms.
\sourceoff
\showoff
Die Lösung des Problems habe ich mit der Technik der dancing links und dem Algorithmus X von D. Knuth zur Lösung von Exact-Cover-Problemen dargestellt, siehe hier.
lg, AK
Lieber Gonz, ich wünsche Dir viel Spass beim Basteln! Es würde mir auch Spass machen, das Problem nun auch physikalisch zu bearbeiten. Netterweise hat E. den Drucker angeworfen und die ersten Bausteine purzeln bereits heraus... :)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-06-09
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die 9 in der ersten lösung jeweils aussen senkrecht stehenden (kreise in meiner skizze, pentas in richtung z) müsste man in ner gedreht/gespiegelten version recht schnell finden
x y z
12 7 6
das sind bei annakath die anzahlen der jeweils in diese richtung liegenden pentas
es gibt nie 9 also muss die lösung neu sein!
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gonz
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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\quoteon(2023-06-09 07:34 - AnnaKath in Beitrag No. 14)
Lieber Gonz, ich wünsche Dir viel Spass beim Basteln!
\quoteoff
Den werde ich haben - ich habe jedenfalls erstmal den Fehler in dem "Anfang" gefunden, den ich heute morgen zusammengesteckt hatte :)
Vielen Dank für den tollen "Math-Slam" den wir da alle zusammen hatten/haben. Ich bin erstmal verlangsamt, da das "Tagesgeschäft" heute wieder zu seinem Recht kommen soll/muss :)
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AnnaKath
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-06-09
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Huhu zusammen,
es gibt wohl sehr viele Lösungen für das Problem. Davon werde sicher eine erkleckliche Anzahl durch Symmetrien aus einander hervorgehen.
Nach zwei Minuten Rechnung hat mein Programm jedenfalls bereits 5000 Lösungen gefunden und in Anbetracht des schönen Wetters belasse ich es dann mal dabei...
lg, AK
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gonz
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Hm, du könntest aber ggf. die Liste mal bereitstellen und man könnte damit Ansatzweise das machen, was man in den "BIG DATA" Kursen lernen soll... Hier sind ein paar Gigabyte Daten - finde was dazu heraus... ( und es sind in unserem Fall ja dann eher Megabyte. )
Zum Beispiel hab ich am Anfang eine spontane Lösung für die untere Lage vorausgesetzt (beim händischen Basteln, die übrigens "so ähnlich aber nicht ganz so" bei deiner Lösung No I zugrunde liegt), und mit bestimmten Symmetrien gespielt, zB ob es rotationssymmetrische Lösungen gibt. Ob ich damit auf dem Holzweg war oder nicht könnte man dann nachschauen.
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haribo
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-06-09
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Allein die simple frage wie viele spiegel und rotations varianten es gibt pro systematisch gleiche lösung? 6x4x2 oder mehr? sortieren nach den anzahlen der xyz ausrichtungen dürfte schon etwas helfen
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AnnaKath
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-06-09
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Huhu zusammen,
wenn ich keinen Fehler in mein Programm eingebaut habe, sind es insgesamt 60672 Lösungen.
lg, AK
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haribo
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-06-09
|
Oh mist, da hätte man doch eine der mindestens tausend verschiedenen von hand finden können sollen
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AnnaKath
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-06-10
|
Huhu zusammen,
als Nachtrag hier gerne einmal der Kern des Algorithmus. Vielleicht möchte den jemand verwenden, kopieren oder verbessern... ;)
\showon
\sourceon C#
namespace AK.Algorithms.Dlx;
interface INode
{
INode Up { get; set; }
INode Left { get; set; }
INode Right { get; set; }
INode Down { get; set; }
HeaderNode Header { get; }
int Ones { get; set; }
}
class HeaderNode : INode
{
public int Ones { get; set; }
public INode Up { get; set; }
public INode Left { get; set; }
public INode Right { get; set; }
public INode Down { get; set; }
public int Name { get; set; }
public HeaderNode Header { get => this; }
public HeaderNode()
{
Up = this;
Down = this;
Left = this;
Right = this;
}
}
class DataNode : INode
{
public INode Up { get; set; }
public INode Left { get; set; }
public INode Right { get; set; }
public INode Down { get; set; }
public HeaderNode Header { get; set; }
public int Ones { get => 0; set { } }
public DataNode(HeaderNode header)
{
Up = this;
Left = this;
Down = this;
Right = this;
Header = header;
}
}
enum Direction { Up, Down, Left, Right }
static class DirectionExtensions
{
public static INode Apply(this Direction direction, INode target) => direction switch
{
Direction.Up => target.Up,
Direction.Down => target.Down,
Direction.Right => target.Right,
_ => target.Left
};
}
class Dlx
{
readonly HeaderNode Root;
int Count = 0;
public Dlx(int[,] matrix)
{
int rows = matrix.GetLength(0);
int columns = matrix.GetLength(1);
/* create control row */
Root = new();
var headers = new HeaderNode[columns];
for (int c = 0; c < columns; c++)
headers[c] = new() { Name = c };
for (int c = 0; c < columns; c++)
{
headers[c].Left = c > 0 ? headers[c - 1] : Root;
headers[c].Right = c < columns - 1 ? headers[c + 1] : Root;
}
Root.Left = headers[columns - 1];
Root.Right = headers[0];
/* create data nodes */
Dictionary<(int, int), DataNode> nodes = new();
for (int r = 0; r < rows; r++)
for (int c = 0; c < columns; c++)
{
if (matrix[r, c] == 1)
nodes.Add((r, c), new DataNode(headers[c]));
}
/* connect columns */
for (int c = 0; c < columns; c++)
{
INode last = headers[c];
for (int r = 0; r < rows; r++)
{
if (matrix[r, c] == 1)
{
var n = nodes[(r, c)];
last.Down = n;
n.Up = last;
last = n;
headers[c].Ones += 1;
}
}
last.Down = headers[c];
headers[c].Up = last;
}
/* connect rows */
for (int r = 0; r < rows; r++)
{
INode? last = null;
INode? first = null;
for (int c = 0; c < columns; c++)
{
if (matrix[r, c] == 1)
{
var n = nodes[(r, c)];
if (first == null)
{
first = n;
last = n;
}
else
{
last!.Right = n;
n.Left = last;
last = n;
}
}
}
last!.Right = first!;
first!.Left = last;
}
}
public ImmutableList? FindSolution() => FindOne(ImmutableList.Empty);
public Stack> FindSolutions()
{
var result = new Stack>();
FindAll(x => result.Push(x), ImmutableList.Empty);
return result;
}
public int CountSolutions()
{
FindAll(_ => Count++, ImmutableList.Empty);
return Count;
}
ImmutableList FindOne(ImmutableList solution)
{
if (Root.Right == Root)
return solution;
var c = ChooseColumn();
if (c == null)
return ImmutableList.Empty;
var sol = ImmutableList.Empty;
CoverColumn(c);
Loop(Direction.Down, c, y =>
{
sol = solution.Add(y);
Loop(Direction.Right, y, x => CoverColumn(x.Header));
sol = FindOne(sol);
Loop(Direction.Left, y, x => UncoverColumn(x.Header));
});
UncoverColumn(c);
return sol;
}
void FindAll(Action> SolutionCallback, ImmutableList current)
{
if (Root.Right == Root)
{
SolutionCallback(current);
return;
}
var c = ChooseColumn();
if (c == null) return;
CoverColumn(c);
Loop(Direction.Down, c, y =>
{
var sol = current.Add(y);
Loop(Direction.Right, y, x => CoverColumn(x.Header));
FindAll(SolutionCallback, sol);
Loop(Direction.Left, y, x => UncoverColumn(x.Header));
});
UncoverColumn(c);
}
static void Loop(Direction direction, INode node, Action action)
{
var n = direction.Apply(node);
while (n != node)
{
action(n);
n = direction.Apply(n);
}
}
static void CoverColumn(INode header)
{
header.Right.Left = header.Left;
header.Left.Right = header.Right;
Loop(Direction.Down, header, y =>
{
Loop(Direction.Right, y, x =>
{
x.Down.Up = x.Up;
x.Up.Down = x.Down;
x.Header.Ones -= 1;
});
});
}
static void UncoverColumn(INode header)
{
Loop(Direction.Up, header, y =>
{
Loop(Direction.Left, y, x =>
{
x.Header.Ones += 1;
x.Up.Down = x;
x.Down.Up = x;
});
});
header.Left.Right = header;
header.Right.Left = header;
}
INode? ChooseColumn()
{
/*
Select column with minimal branching factor.
This is a heuristic which usually speeds up the algorithm.
In very symmetric cases, this optimisation is not necessary
and should be replaced by simply choosing the first column not covered.
*/
INode? result = null;
var min = int.MaxValue;
Loop(Direction.Right, Root, x =>
{
if (x.Ones < min)
{
result = x;
min = x.Ones;
}
});
return result;
}
}
\sourceoff
\showoff
lg, AK
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gonz
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Tatsächlich habe ich dann heute Morgen auch endlich meine Realwelt-Copy des Puzzles wieder zusammenbauen können und weitergegeben :)
Ich habe die Daten von AnnaKath so sortiert, dass sie eine sinnige Reihenfolge beim Bauen ergeben, und die Pentaminos nochmal anders beschreiben. In dem gedachten, ab 0 indizierten XZY Koordinatensystem heißt ein spezieller Pentamino dann zB "020Y-Z+", wenn sein Zentrum bei X=0, Y=2, Z=0 liegt, der längere Schenkel in Richtung negativer Y-Werte führt und der "kurze seitliche Abzweig" in positive Z-Richtung. Meine Achsen verlaufen beim Bauen wie folgt:
X von unten nach oben
Y von links nach rechts
Z von vorne nach hinten
Es ist sinnvoll, die kompletten Koordinaten der Cubes noch mitzunehmen, da man dann ggf. wenn ein Cube fehlt oder zu viel ist, suchen kann, wo er vorkommt und "was da eigentlich sein müsste".
Hier ist dann die Anleitung:
\showon
Der Basisrahmen
[ (0,0,0) - (0,1,0) - (0,2,0) - (0,2,1) - (0,3,0) ] 020 Y- Z+
[ (0,4,0) - (0,4,1) - (0,4,2) - (0,4,3) - (0,3,2) ] 042 Z- Y-
[ (0,4,4) - (0,1,4) - (0,2,4) - (0,3,3) - (0,3,4) ] 034 Y+ Z-
[ (0,0,4) - (0,1,3) - (0,0,1) - (0,0,2) - (0,0,3) ] 003 Z- Y+
Hinten die linke Ecke ausbauen
[ (1,0,0) - (1,1,0) - (1,2,0) - (1,3,0) - (2,1,0) ] 110 Y+ X+
[ (0,1,1) - (1,0,1) - (1,1,1) - (2,1,1) - (3,1,1) ] 111 X+ Y-
[ (0,1,2) - (1,0,2) - (1,1,2) - (2,1,2) - (3,1,2) ] 112 X+ Y-
[ (2,0,0) - (2,0,1) - (2,0,2) - (2,0,3) - (3,0,2) ] 202 Z- X+
Hinten rechts auffüllen und rechts nach vorne vorarbeiten
[ (0,2,3) - (1,0,3) - (1,1,3) - (1,2,3) - (1,3,3) ] 123 Y- X-
[ (3,0,3) - (3,0,4) - (4,0,4) - (1,0,4) - (2,0,4) ] 304 X- Z-
[ (2,1,3) - (2,1,4) - (3,1,4) - (4,1,4) - (1,1,4) ] 214 X+ Z-
[ (2,2,3) - (2,2,4) - (3,2,4) - (4,2,4) - (1,2,4) ] 224 X+ Z-
[ (1,3,4) - (2,3,4) - (3,3,4) - (3,4,4) - (4,3,4) ] 334 X- Y+
Jetzt mal in der Mitte was machen
[ (0,2,2) - (1,2,2) - (2,2,2) - (2,3,2) - (3,2,2) ] 222 X- Y+
[ (4,2,1) - (1,2,1) - (2,2,0) - (2,2,1) - (3,2,1) ] 221 X+ Z-(
[ (2,3,0) - (2,3,1) - (3,3,1) - (0,3,1) - (1,3,1) ] 231 X- Z-
Nun ergibt sich vorne was
[ (1,3,2) - (1,4,1) - (1,4,2) - (1,4,3) - (1,4,4) ] 142 Z- Y-
[ (1,4,0) - (2,4,0) - (3,4,0) - (3,4,1) - (4,4,0) ] 340 X- Z+
[ (2,4,1) - (2,4,2) - (2,4,3) - (2,4,4) - (2,3,3) ] 243 Z- Y-
Wieder hinten links
[ (3,0,0) - (3,1,0) - (3,2,0) - (3,3,0) - (4,2,0) ] 320 Y- X+
Aber der Rest geht jetzt auch eigentlich durch Hinsehen^
[ (3,0,1) - (4,0,0) - (4,0,1) - (4,0,2) - (4,0,3) ] 401 Z+ X-
[ (4,1,0) - (4,1,1) - (4,1,2) - (4,1,3) - (4,2,2) ]
[ (4,3,0) - (4,3,1) - (4,3,2) - (4,3,3) - (3,3,2) ]
[ (3,4,2) - (4,4,1) - (4,4,2) - (4,4,3) - (4,4,4) ]
[ (3,4,3) - (4,2,3) - (3,1,3) - (3,2,3) - (3,3,3) ]
\showoff
Glück Auf aus dem Oberharz
und einen angenehmen Weg ins Wochnende!
Gerhard/Gonz
Nachtrag: Da ich nebenbei etwas zur Biographie von Golomb gelesen habe ("der mit den Linealen"), würde ich Uli fragen, ob wir nicht aus diesem Anlass an ihn erinnern und eine Sammler-Aufgabe auf Basis der Golomb-Dickman Konstante zelebrieren :)
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2023-09-30 22:43 U ?
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