| |
| Autor |
 Zahlenspielerei mit Division |
|
thureduehrsen
Senior 
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1774
Wohnort: Kiel, Deutschland
 |  Themenstart: 2023-09-05
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Wenn man die Zahlenreihe auf der Tastatur auf- und abfährt und mal ein bisschen herumspielt, dann passiert Folgendes:
\[
\begin{array}{lllll}
321/123 &=& 2.60975609756097560975 &\approx& 2.6\\
4321/1234 &=& 3.50162074554294975688 &\approx& 3.5\\
54321/12345 &=& 4.40024301336573511543 &\approx& 4.4\\
654321/123456 &=& 5.30003402021772939346 &\approx& 5.3\\
7654321/1234567 &=& 6.20000453600331128241 &\approx& 6.2\\
87654321/12345678 &=& 7.10000058320004782240 &\approx& 7.1\\
987654321/123456789 &=& 8.00000007290000066339 &\approx& 8\\
\end{array}
\]
Das kann doch kein Zufall sein!?
Warum ist das letzte Ergebnis fast genau 8? Und warum wachsen die Quotienten ziemlich genau um 0.9?
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
|
 Profil
|
semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 527
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-06
|
Moin thureduehrsen,
das ist absolut kein Zufall, sondern kommt wie folgt zustande:
Den Zusammenhang zwischen deinem ersten und zweiten Quotienten bekommt man dadurch, dass man erstens bemerkt, dass $1234 \approx 10 \cdot 123$ als Beziehung zwischen den Nennern und wegen
\[
4321-\underbrace{3210}_{10 \cdot 321} = 1111 \approx 10 \cdot 111
\]
auch $4321 \approx 10 \cdot 321 + 10 \cdot 111$ als Beziehung zwischen den Zählern gilt. Damit folgt
\[
\frac{4321}{1234} \approx \frac{321}{123} + \underbrace{\frac{111}{123}}_{\approx 0.9} \approx \frac{321}{123} + 0.9.
\]
Allgemeiner erhält man als Zusammenhang zwischen dem n-ten Quotienten $q_n = \frac{a_n}{b_n}$ und dem darauffolgenden Quotienten $q_{n+1}$ mit analogen Überlegungen wie gerade
\[
q_{n+1} \approx q_n + 0.9, \tag{1}
\]
weil stets $b_{n+1} \approx 10 b_n \approx 10^n \cdot 123$ und $a_{n+1} \approx 10 a_n + 10^n \cdot 111$ gilt; Letzteres deswegen, weil $10 a_n$ genau so viele Ziffern wie $a_{n+1}$ hat, aber natürlich jede Ziffer von $10 a_n$ genau um eins weniger ist als die entsprechende von $a_{n+1}$, dementsprechend ihre Differenz ebensoviele Ziffern hat, die alle gleich 1 sind. Dass $q_6 \approx 8$ gilt, würde ich der Rekursion (1) mit dem Anfangswert $q_0 \approx 2.6$ und der Tatsache $6 \cdot 0.9 = 5.4$ zuschreiben.
LG,
semasch
PS: Aus der von polygamma in Beitrag #2 bestimmten exakten Formel kann man auch noch sehen, warum die Quotienten immer besser durch ihre ersten beiden Dezimalstellen approximiert werden, und zwar mit Verbesserung der relativen Genauigkeit um etwas weniger als einen Faktor $10$ von einem Quotienten zum nächsten. Das nämlich deswegen, weil nach der Formel in Beitrag #2 die enstprechende relative Abweichung durch
\[
\frac{\frac{(9n-1)10^n+1}{10^{n+1}-(9n+10)} - \frac{9n-1}{10}}{\frac{9n-1}{10}} = \frac{1+\frac{1}{(9n-1)10^n}}{1-\frac{9n+10}{10^{n+1}}} -1 \\
\approx \left( 1+\frac{1}{(9n-1)10^n} \right) \left( 1+\frac{9n+10}{10^{n+1}} \right) -1 \approx \frac{\frac{9n}{10}+1+\frac{1}{9n-1}}{10^n}
\]
gegeben ist und damit etwas weniger als exponentiell zur Basis $10$ mit wachsendem $n$ abnimmt. Insbesondere erklärt das in Verbindung mit $\frac{9 \cdot 9 -1}{10} = 8$ nochmal besser, warum der letzte Quotient so nahe an $8$ dran ist.
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo, Thure :)
Schreiben wir mal anders auf, was du vor dir hast.
Sei $n\in\IN_{\geq1}$
Du betrachtest: $$\frac{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}k}{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}\left(n-k+1\right)}=\frac{9n10^n-10^n+1}{10^{n+1}-9n-10}$$
Wir sehen schon $9$ und $10$, und es ist $0.9=\frac{9}{10}$ ;)
Du interessierst dich für die Differenz von aufeinanderfolgenden Quotienten, also: $$\frac{9(n+1)10^{n+1}-10^{n+1}+1}{10^{n+2}-9(n+1)-10}-\frac{9n10^n-10^n+1}{10^{n+1}-9n-10}=\frac{9}{10}\left(1+9(n+1)\left(\frac{n+2}{10^{n+2}-9n-19}-\frac{n}{10^{n+1}-9n-10}\right)\right)$$
Nun genügt "scharf hinschauen" :)
Liebe Grüße
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
|
Profil
|
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-06
|
Moin Thure! 😉
Zähler und Nenner ergeben addiert eine Zahl aus lauter
gleichen Ziffern, bzw. \(1\,111\,111\,110\) für \(n=9\).
Bei der Assoziation Bruchperiode fiel mir wieder ein:
\(1\,/\,81\;=\;0{,}\overline{012\,345\,679}\)
Also exemplarisch ans Werk für \(n=8\) :
\(87\,654\,321\,/\,12\,345\,678\;=\;(\,99\,999\,999\,-\,12\,345\,678\,)\,/\,12\,345\,678\;=\) ...
... \(=\;99\,999\,999\,/\,12\,345\,678\;-\;1\)
Zähler: \(\approx\;(n+1)\;\cdot\;10^n\;\cdot\;1/9\)
Nenner: \(\approx\;10^{(n+1)}\;\cdot\;1/81\)
\(-\) jeweils abgerundet.
Quotient aus Zähler und Nenner:
$$
\frac{(n+1)\;\cdot\;10^n\;\cdot\;\frac{1}{9}}{10^{(n+1)}\;\cdot\;\frac{1}{81}}\quad=\quad9\;\cdot\;(n+1)\;\cdot\;10^{-1}
$$
Demnach insgesamt:
$$
q(n)\quad\approx\quad0{,}9\;\cdot\;(n+1)\quad-\quad1
$$
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo, zusammen :)
Sei $n\in\IN_{\geq1}$ und wir definieren $$q(n):=\frac{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}k}{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}\left(n-k+1\right)}$$
\quoteon(2023-09-06 01:29 - polygamma in Beitrag No. 2)
$$\frac{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}k}{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}\left(n-k+1\right)}=\frac{9n10^n-10^n+1}{10^{n+1}-9n-10}$$
\quoteoff
Also $$q(n)=\frac{9n10^n-10^n+1}{10^{n+1}-9n-10}=\frac{10^n(9n-1)+1}{10(10^n-1)-9n}\stackrel{-1\text{ im Zähler}}{\approx}\frac{10^n(9n-1)}{10(10^n-1)-9n}=\frac{9}{10}\cdot\frac{10^n\left(n-\frac{1}{9}\right)}{10^n-1-\frac{9}{10}n}=\frac{9}{10}\left(n-\frac{1}{9}\right)\frac{10^n}{10^n-1-\frac{9}{10}n}\approx\frac{9}{10}\left(n-\frac{1}{9}\right)$$
Zusammenfassend $$q(n)=\frac{10^n(9n-1)+1}{10(10^n-1)-9n}\approx\frac{9}{10}\left(n-\frac{1}{9}\right)\frac{10^n}{10^n-1-\frac{9}{10}n}\approx\frac{9}{10}\left(n-\frac{1}{9}\right)\stackrel{\text{semasch}}{=}\frac{9n-1}{10}\stackrel{\text{cramilu}}{=}\frac{9}{10}\left(n+1\right)-1\text{ (die Näherung wird besser, je größer }n\text{)}$$ und damit insbesondere $q(9)\approx8$ :)
\quoteon(2023-09-06 01:03 - semasch in Beitrag No. 1)
Insbesondere erklärt das in Verbindung mit $\frac{9 \cdot 9 -1}{10} = 8$ nochmal besser, warum der letzte Quotient so nahe an $8$ dran ist.
\quoteoff
\quoteon(2023-09-06 06:37 - cramilu in Beitrag No. 3)
Demnach insgesamt:
$$
q(n)\quad\approx\quad0{,}9\;\cdot\;(n+1)\quad-\quad1
$$
\quoteoff
Liebe Grüße
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo, zusammen :)
Ich habe den vorigen Beitrag nochmal überarbeitet, und auf die "Quintessenzen" runtergebrochen.
Man kann aus der exakten Lösung relativ elegant die Näherungen von semasch und cramilu herleiten :)
Vielleicht hat ja noch wer anders eine weitere, nette Idee?
Und @Thure: Ich hoffe deine Fragen sind beantwortet!
Liebe Grüße
|
Profil
|
thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1774
Wohnort: Kiel, Deutschland
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-06
|
Und wie meine Fragen beantwortet sind! HAM.MER.HART.
(Ich muss aber gestehen, dass ich mir einen kleinen Hinweis, vielleicht nur ein Stichwort, erhofft hatte und nicht Antworten, die fast nichts mehr offen lassen!)
Der Ansatz von cramilu ist so dermaßen elegant, dass mir die Spucke wegbleibt!
Ich versuche nun (innerhalb von 14 Tagen oder so) das einmal auf Stellenwertsysteme zu anderen Basen zu übertragen.
mfg
thureduehrsen
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-09-06
|
\quoteon(2023-09-06 16:26 - thureduehrsen in Beitrag No. 6)
Der Ansatz von cramilu ist so dermaßen elegant, dass mir die Spucke wegbleibt!
\quoteoff
Hehe, das habe ich mir heute morgen auch gedacht.
Ich gebe in Anbetracht deiner Anmerkung jedoch noch eine weitere Anmerkung.
Ich weiß nicht, ob es wer gemerkt hat, aber die $\frac{1}{81}$ kommt bei mir auch vor :)
$$\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}k=\frac{1}{81}\cdot\left(9n10^n-10^n+1\right)$$
$$\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}\left(n-k+1\right)=\frac{1}{81}\cdot\left(10^{n+1}-9n-10\right)$$
Bei Betrachtung von $$\frac{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}k}{\sum_{k=1}^{n}10^{k-1}\left(n-k+1\right)}=\frac{9n10^n-10^n+1}{10^{n+1}-9n-10}$$ kürzt sich $\frac{1}{81}$ jedoch weg :)
|
Profil
|
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-06
|
Zuviel der Ehre, Thure!
semasch, ich finde Deine Bruchadditionsnäherung
auch höchst schick, und, polygamma, Deine Akribie
ist mir fast schon unheimlich. 😉
Auch gewiss kein Zufall (Nachkomma-Teilsequenzen):
\(987\,654\,321\,/\,123\,456\,789\;=\;8{,}000\,000\,072\,900\,000\,663\,390\)...
\(729{,}0\,/\,(1+8{,}0)\;=\;81\) ; \(66\,339\,/\,729\;=\;91\)
\(87\,654\,321\,/\,12\,345\,678\;=\;7{,}100\,000\,583\,200\,047\,822\,40\)...
\(583{,}2\,/\,(1+7{,}1)\;=\;72\) ; \(478\,224\,/\,5\,832\;=\;82\)
\(7\,654\,321\,/\,1\,234\,567\;=\;6{,}200\,004\,536\,003\,311\,282\)...
\(453{,}6\,/\,(1+6{,}2)\;=\;63\) ; \(331\,128\,/\,4\,536\;=\;73\)
\(654\,321\,/\,123\,456\;=\;5{,}300\,034\,020\,217\,729\)...
\(340{,}2\,/\,(1+5{,}3)\;=\;54\) ; \(217\,729\,/\,3\,402\;\approx\;64{,}000\,294\)
\(54\,321\,/\,12\,345\;=\;4{,}400\,243\,0133\,657\)...
\(243{,}0\,/\,(1+4{,}4)\;=\;45\) ; \(133\,657\,/\,2\,430\;=\;55{,}002\,88\)...
\(4\,321\,/\,1\,234\;\approx\;3{,}501\,620\,745\,543\)...
\(162{,}0\,/\,(1+3{,}5)\;=\;36\) ; \(74\,554{,}3\,/\,1\,620\;=\;46{,}021\)...
\(321\,/\,123\;=\;107\,/\,41\;=\;2{,}6\overline{09\,756}\)
\(97{,}56\,/\,(1+2{,}6)\;=\;27{,}1\) ; hmm... hier unschön 🙄
Nachtrag
Vor mittlerweile drei Jahren hatten wir solche 'Bauerntricks'
von wegen Bruchperioden u.a. bei https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=249666
und den thematischen Vorläufern. 😉
Ihr könnt Euch ja bei Muße dem Folgenden widmen:
\(
\begin{array}{rclcl}
2 & / & 2 & = & 1 \\
32 & / & 23 & = & 1{,}391\,304\,347\,826\,{...} \\
432 & / & 234 & = & 1{,}\overline{846\,153} \\
5\,432 & / & 2\,345 & = & 2{,}316\,417\,910\,447\,761\,{...} \\
65\,432 & / & 23\,456 & = & 2{,}789\,563\,437\,926\,330\,15\,{...} \\
765\,432 & / & 234\,567 & = & 3{,}263\,170\,011\,126\,884\,8559\,{...} \\
8\,765\,432 & / & 2\,345\,678 & = & 3{,}736\,843\,675\,900\,954\,8625\,{...} \\
98\,765\,432 & / & 23\,456\,789 & = & 4{,}210\,526\,513\,241\,006\,6868\,{...} \\
\end{array}
\)
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-06
|
\quoteon(2023-09-06 17:52 - cramilu in Beitrag No. 8)
Ihr könnt Euch ja bei Muße dem Folgenden widmen:
\(
\begin{array}{rclcl}
2 & / & 2 & = & 1 \\
32 & / & 23 & = & 1{,}391\,304\,347\,826\,{...} \\
432 & / & 234 & = & 1{,}\overline{846\,153} \\
5\,432 & / & 2\,345 & = & 2{,}316\,417\,910\,447\,761\,{...} \\
65\,432 & / & 23\,456 & = & 2{,}789\,563\,437\,926\,330\,15\,{...} \\
765\,432 & / & 234\,567 & = & 3{,}263\,170\,011\,126\,884\,8559\,{...} \\
8\,765\,432 & / & 2\,345\,678 & = & 3{,}736\,843\,675\,900\,954\,8625\,{...} \\
98\,765\,432 & / & 23\,456\,789 & = & 4{,}210\,526\,513\,241\,006\,6868\,{...} \\
\end{array}
\)
\quoteoff
Gut, dann etwas allgemeiner.
Seien $n\in\IN_{\geq1}$ und $x\in\IN_{\geq0}$
Wir betrachten $$q(n,\,x):=\frac{\sum_{k=1}^n 10^{k-1}(k+x)}{\sum_{k=1}^n 10^{k-1}(n-k+x+1)}=\frac{10^n(9n+9x-1)-(9x-1)}{(10^n-1)(9x+10)-9n}\approx\left(9n+9x-1\right)\frac{10^n}{(10^n-1)(9x+10)-9n}\approx\frac{9n+9x-1}{9x+10}$$
Die Werte von cramilu erhält man mit $x=1$ und $x=0$ ist unser bereits bekanntes Resultat :)
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo thureduehrsen,
wie cramilu schon erwähnt hat, spielt bei der Aufzählung von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen die Zahl 81 eine wichtige Rolle.
In der Zahl 81 - genauer gesagt in ihrem Kehrwert - liegt nämlich die Aufzählung sämtlicher natürlicher Zahlen verborgen:
\sourceon
1/81 = 0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
´ 22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
+ 35
:
:
----------------------------------------------------------
0.01234567901234567901234567901234567...
\sourceoff
Man schreibt die natürlichen Zahlen stets um eine Dezimalstelle nach rechts versetzt untereinander bis ins Unendliche und addiert einfach jeweils die beiden übereinanderstehenden Ziffern unter Berücksichtigung des ggf. auftretenden Übertrags, der durch die darauffolgende Dezimalstelle entsteht. Somit ergibt sich in Summe genau der Wert 1/81. Es ist eine Art Addition von links nach rechts statt der eigentlich mathematisch korrekten Additionsweise, bei der man von rechts nach links addiert. Aber man kann auch traditionell von rechts nach links rechnen, wenn man wie hier die natürlichen Zahlen z. B. bis zur 35 aufschreibt und dann ab der 3 von der 35 nach links hin die übereinanderstehenden Ziffern aufsummiert. Nur die letzte Ziffer der zuletzt notierten natürlichen Zahl kann man noch nicht direkt verwerten, da dazu erst die nächstfolgende natürliche Zahl erforderlich ist.
LG Primentus
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-09-06
|
@Primentus: Wo ist die $8$?
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo polygamma,
bei der Aufzählung der natürlichen Zahlen erscheint die 8 ganz normal, aber im aufsummierten Wert, der 1/81 ergibt, kommt keine 8 vor, da nach dem Komma lediglich 012345679 periodisch steht.
Bei der Abfolge
7
8
9
10
entsteht durch 9+1=10 ein Übertrag 1 für die 8, so dass es bei der nächstvorderen Stelle dann heißt 8+1=9 und bei der dann nächstvorderen 7.
Somit kommt im Wert von 1/81 also die Ziffernfolge ...790... zustande. Eine 8 kommt in der Periode von 1/81 aufgrund des fortwährenden Übertrags bei jeder zehnten Dezimalstelle nicht bzw. nie vor.
LG Primentus
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.13, eingetragen 2023-09-06
|
Sind wir im Bereich Mathematik oder Religion unterwegs?
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo polygamma,
selbstverständlich im Bereich Mathematik.
Die Addition von links auch rechts ist auch gar nicht erforderlich, falls sie Dir nicht behagt. Notiere einfach die natürlichen Zahlen fortlaufend bis zu einer Zahl x um stets eine Dezimalstelle versetzt untereinander und addiere dann wie gewohnt von rechts nach links unter Abschneiden der letzten Ziffer der zuletzt notierten natürlichen Zahl.
Dieses Abschneiden der letzten Ziffer der zuletzt notierten natürlichen Zahl ist erforderlich, da es praktisch nicht möglich ist, die Zahlen bis ins Unendliche zu notieren. Unabhängig davon ist dies jedoch eine korrekte Rechnung, da hierbei genau der Kehrwert von 81 herauskommt. Du kannst die Anzahl notierter natürlicher Zahlen natürlich beliebig weit fortsetzen bis ins nahezu Unendliche. Eine große Überraschung wird bei der Aufsummierung jedoch nicht zustande kommen, da nach dem Komma stets der periodische Wert 012345679 auftritt.
Das ist kein Hexenwerk. Die Tatsache, dass die Rechnung an irgendeiner Stelle weit rechts nebem dem Komma abgebrochen wird, ist nichts anderes wie wenn jemand z. B. statt 0,$\overline{3}$ schreibt 0,33333333...
Das bedeutet insbesondere: Bis zur letzten erwähnten Dezimalstelle ist die Zahl stets korrekt - unabhängig davon, wie weit man eine solche periodische Dezimalzahl notiert.
LG Primentus
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.15, eingetragen 2023-09-06
|
Okay, ich teile noch folgenden Link und belasse es dann dabei: https://math.stackexchange.com/questions/915069/reciprocal-of-81-being-the-sequence-of-all-natural-numbers
Unabhängig davon, ob es hier gerade um Mathematik oder Religion geht, sehe ich jedoch nicht den Zusammenhang zum Anliegen von Thure.
Sollte ein sinnvoller Zusammenhang vorliegen, sollte dieser nochmal explizit hervorgehoben werden, und sollte er nicht existieren, hat dieses Thema vermutlich eher nichts in diesem Thread verloren.
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.16, eingetragen 2023-09-06
|
Hallo polygamma,
ich habe das nur als Nebeninformation erwähnt, um zu verdeutlichen, dass es kein Zufall ist, dass die 81 auftritt, wenn natürliche Zahlen in aufsteigender Weise auftreten. Es soll nur eine Art optische Veranschaulichung sein, warum in den Formeln die zuvor erwähnt wurden, die 81 vorkommt.
Vielleicht hilft es Dir, wenn Du Dir vor den einzelnen natürlichen Zahlen ein 0.000000... davor vorstellst. Das habe ich nur zu Veranschaulichungszwecken weggelassen (damit die aufsteigende Reihenfolge der natürlichen Zahlen besser zur Geltung kommt). Also Du kannst auch gerne schreiben und dann von rechts her addieren:
\sourceon 1/81
0.000000000000(0)
0.010000000000(0)
0.002000000000(0)
0.000300000000(0)
0.000040000000(0)
0.000005000000(0)
0.000000600000(0)
0.000000070000(0)
0.000000008000(0)
0.000000000900(0)
0.000000000100(0)
0.000000000011(0)
+ 0.000000000001(2)
---------------
0.012345679012... = 1/81
\sourceoff
Das ist ganz normale Addition, wie man es in der Schule gelernt hat und nichts anderes! Und da taucht in den Dezimalstellen des Endergebnisses nach wie vor nie eine 8 auf! Weil bei der 8 jedesmal der Übertrag 1 mit draufkommt, ergibt sich bei den Dezimalstellen vor der 0 jedesmal eine 9 und davor direkt die 7.
Edit:
Wenn es dann in die dreistelligen Zahlen hineingeht, sieht es (ausschnittsweise) so aus:
\sourceon 1/81
:
96
97
98
99
100
101
102
103
+ 104
:
--------------
...6790123..
\sourceoff
Es kommen dann vermehrt Überträge zustande!
Hier kann man die letzten beiden Ziffern der 104 noch nicht direkt verwerten, aber den Rest schon. Also von der zuletzt genannten natürlichen Zahl kann man sozusagen immer nur die erste Ziffer verwerten. Um auch die 04 der 104 verwerten zu können, muss man noch die 105 und die 106 darunter schreiben, usw.
LG Primentus
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.17, eingetragen 2023-09-07
|
\quoteon(2023-09-06 23:13 - polygamma in Beitrag No. 15)
[...] und belasse es dann dabei
\quoteoff
Das hatte ich vor, aber ehrlicherweise stört es mich relativ empfindlich, was hier nun im Thread steht (Edit: Ich beziehe mich vor allem auf den 1. Absatz in Beitrag #16 nach "Hallo polygamma,") - denn es ist falsch und irreführend.
$$\frac{1}{81}$$ kommt bei cramilu und mir vor, das ist korrekt, aber das ist auch das Einzige (Edit: Ich hätte nicht "das Einzige" schreiben sollen, da ich nicht explizit genug geschrieben hatte, auf was ich mich beziehe, man siehe den Edit weiter oben), das korrekt ist.
Bei mir kommt der Wert vor wegen $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}=\frac{1}{81}$$
Cramilu nutzt die Nachkommastellen, wie er es selbst genannt hat, als 'Bauerntrick', um damit die Nenner darzustellen.
Und es ist sogar so, dass die Näherung noch besser funktionieren würde, wenn die $8$ nicht fehlen würde.
Noch dazu verwendet er die simple Tatsache, dass $9^2=81$, sodass man rumkürzen kann in Kombination mit dem Zähler.
\quoteon(2023-09-06 23:01 - polygamma in Beitrag No. 13)
Sind wir im Bereich Mathematik oder Religion unterwegs?
\quoteoff
\quoteon(2023-09-06 23:08 - Primentus in Beitrag No. 14)
selbstverständlich im Bereich Mathematik.
\quoteoff
Ich widerspreche und würde dich bitten, das Thema hier im Thread nicht weiterzuverfolgen.
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.18, eingetragen 2023-09-07
|
\quoteon(2023-09-06 23:18 - Primentus in Beitrag No. 16)
\sourceon 1/81
0.000000000000(0)
0.010000000000(0)
0.002000000000(0)
0.000300000000(0)
0.000040000000(0)
0.000005000000(0)
0.000000600000(0)
0.000000070000(0)
0.000000008000(0)
0.000000000900(0)
0.000000000100(0)
0.000000000011(0)
+ 0.000000000001(2)
---------------
0.012345679012... = 1/81
\sourceoff
\quoteoff
\quoteon(2023-09-07 07:17 - polygamma in Beitrag No. 17)
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}=\frac{1}{81}$$
\quoteoff
Hallo polygamma,
wenn man meine obige Additionsrechnung bis ins Unendliche fortführt, entspricht das genau Deiner hier ebenfalls zitierten Summenformel, nur dass bei mir die Summanden alle einzeln aufgezählt werden - also ein Hundertstel plus zwei Tausendstel plus drei Zehntausendstel, usw. (bis ins Unendliche).
Falls Du Dich daran störst, dass ich am Ende "= 1/81" geschrieben habe, obwohl ich die Addition nicht bis ins Unendliche fortgesetzt habe, sondern frühzeitig abgebrochen habe (bei $k=11$), und es deshalb "ist ungefähr 1/81" heißen müsste, so gebe ich Dir natürlich recht.
Aber abgesehen davon ist an der Addition, die ich durchgeführt habe, nichts falsch. Ich habe aber auch nicht behauptet, dass dieser Zusammenhang zwischen dem Kehrwert von 81 und der Aufzählung aller natürlichen Zahlen derselben Fragestellung wie der aus dem Themenstart entspricht. Bei einer Addition kann man Nullen stets weglassen, denn sie tragen nichts zum Summenergebnis bei (abgesehen von der Vorkommastelle). Ich habe dabei beachtet, was bei einer Addition beachtet werden muss, nämlich dass alle Hundertstel untereinander stehen, alle Tausendstel untereinander, alle Zehntausendstel untereinander und alle Hunderttausendstel untereinander, usw.
Wie gesagt - das, worum es im Themenstart und darauffolgenden Antworten geht, soll nicht vermischt werden mit dem was ich genannt habe, aber ich finde es einen nennenswerten und interessanten Aspekt, dass es einen Zusammenhang zwischen der Auflistung der natürlichen Zahlen und dem Kehrwert von 81 gibt, wenn man die Addition bis ins Unendliche hinein betrachtet. Natürlich ist Deine zitierte Summenformel die elegantere Variante, dies aufzuschreiben, weil man so die händische Aufzählung aller Summanden, die man praktisch gesehen gar nicht bis ins Unendliche fortsetzen kann, hiermit umgeht. Ich wollte lediglich demonstrieren, dass mit jedem weiteren Summanden die nächstgrößere natürliche Zahl als Ziffernkolonne um eine Dezimalstelle nach rechts versetzt im jeweiligen Summanden auftaucht.
Ansonsten möchte ich jetzt ehrlich gesagt auch nicht mehr dazu sagen.
Gerne kann nun das ursprüngliche Threadthema weiter besprochen werden.
LG Primentus
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.19, eingetragen 2023-09-07
|
Eingegangen bist du auf
\quoteon(2023-09-07 07:17 - polygamma in Beitrag No. 17)
Bei mir kommt der Wert vor wegen $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}=\frac{1}{81}$$
\quoteoff
Nicht eingegangen bist du auf
\quoteon(2023-09-07 07:17 - polygamma in Beitrag No. 17)
Cramilu nutzt die Nachkommastellen, wie er es selbst genannt hat, als 'Bauerntrick', um damit die Nenner darzustellen.
Und es ist sogar so, dass die Näherung noch besser funktionieren würde, wenn die $8$ nicht fehlen würde.
Noch dazu verwendet er die simple Tatsache, dass $9^2=81$, sodass man rumkürzen kann in Kombination mit dem Zähler.
\quoteoff
Du schriebst jedoch
\quoteon(2023-09-06 23:18 - Primentus in Beitrag No. 16)
Es soll nur eine Art optische Veranschaulichung sein, warum in den Formeln die zuvor erwähnt wurden, die 81 vorkommt.
\quoteoff
"den Formeln die zuvor erwähnt wurden" ist Plural und klingt von der Formulierung her so, als wären damit alle Formeln gemeint, in denen $\frac{1}{81}$ vorkommt.
Du hast also einen relevanten Teil meiner Antwort ignoriert.
Ich sehe es nicht als sinnvoll an, an dieser Stelle weiter zu "diskutieren".
Trotzdem wollte ich zum Ausdruck bringen, dass ich weiterhin in keinster Weise zustimme.
Ich werde nach dieser Antwort nicht erneut auf Antworten von dir antworten.
Mein "nicht antworten" ist dann nicht als Zustimmung zu interpretieren.
Edit: Ich habe Beitrag #17 mit Edits versehen, um etwas expliziter zu benennen, auf was ich mich beziehe.
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.20, eingetragen 2023-09-09
|
Hallo, zusammen :)
Jetzt stört mich, dass ich selbst nicht klarer ausgesprochen habe, was genau ich meine ¯\_(ツ)_/¯
In anderen Worten stört mich, dass glaube ich nicht ganz klar ist, an welchen Stellen hier aneinander vorbeigeredet wurde, und das möchte ich doch noch gerne klarstellen.
\quoteon(2023-09-06 22:20 - Primentus in Beitrag No. 10)
wie cramilu schon erwähnt hat, spielt bei der Aufzählung von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen die Zahl 81 eine wichtige Rolle.
In der Zahl 81 - genauer gesagt in ihrem Kehrwert - liegt nämlich die Aufzählung sämtlicher natürlicher Zahlen verborgen:
\sourceon
1/81 = 0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
´ 22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
+ 35
:
:
----------------------------------------------------------
0.01234567901234567901234567901234567...
\sourceoff
\quoteoff
"wie cramilu schon erwähnt hat, spielt bei der Aufzählung von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen die Zahl 81 eine wichtige Rolle" ergibt für mich weiterhin keinen Sinn.
Es geht ganz explizit um "spielt bei der Aufzählung von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen die Zahl 81 eine wichtige Rolle".
"wichtige Rolle" ist erst einmal in den Raum geworfen worden, ohne weitere Einordnung, was "wichtig" überhaupt bedeutet.
Danach folgte eine "rechnerische Veranschaulichung" von $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}=\frac{1}{81}$
Und das ist ehrlicherweise der Knackpunkt, das Ergebnis von $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}$ ist halt einfach $\frac{1}{81}$
Natürlich kommen dann, wenn man diese einzelnen Summanden aufschreibt, alle natürlichen Zahlen vor.
Dadurch, dass wir im Dezimalsystem unterwegs sind, und ein Teilen durch $10^{k+1}$ vorkommt, kann man den ganzen Spaß dann halt so aufschreiben, wie Primentus es getan hat, und das ist dann irgendwie auch alles?
Mit "derselben Argumentation" kann ich sagen, dass in der $1$ alle natürlichen Zahlen verborgen sind, denn $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^{k+1}}=1$$
In anderen Worten habe ich auf den Beitrag von Primentus geschaut, und mir gedacht, dass dort eine Trivialität steht, die keine weiteren, relevanten mathematischen Implikationen hat, er hat es jedoch als "wichtige Rolle" betitelt.
Ich dachte mir dann, dass es ja nicht darum gehen kann, dass einfach nur diese Auflistung der natürlichen Zahlen gemeint ist, und habe daraus gefolgert, dass es ggf. um die Nachkommastellen gehen soll, da diese ja Teil seines Beitrags waren?
Dort fehlt dann ja aber die $8$ (und natürlich auch unendlich viele andere Zahlen), also habe ich gefragt, wo die $8$ ist.
\quoteon(2023-09-06 22:30 - polygamma in Beitrag No. 11)
@Primentus: Wo ist die $8$?
\quoteoff
Ich hatte mir erhofft, dass mir die Antwort auf die Frage "weitere Informationen" liefert, sodass ich verstehen kann, worum es geht.
Rückblickend sage ich, dass ich eine "bessere Frage" hätte stellen sollen, aber ich war letztendlich einfach sehr verwirrt von dem Beitrag, und wusste nicht, wo ich anfangen soll.
\quoteon(2023-09-06 22:54 - Primentus in Beitrag No. 12)
bei der Aufzählung der natürlichen Zahlen erscheint die 8 ganz normal, aber im aufsummierten Wert, der 1/81 ergibt, kommt keine 8 vor, da nach dem Komma lediglich 012345679 periodisch steht.
\quoteoff
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}=\frac{1}{81}=0{,}\overline{012345679}$$
Das ist halt einfach das Ergebnis dieser unendlichen Reihe...
Ich hing gedanklich immer noch bei dem "wichtige Rolle", denn das war die Startaussage, und es steckt einfach nicht mehr dahinter, als genau das.
Es ist das Ergebnis einer unendlichen Reihe, die von der Form ist, dass man die Summanden im Dezimalsystem halt einfach so aufschreiben kann, wie Primentus das getan hat.
Anders formuliert habe ich auf der einen Seite eine mathematische Trivialität gesehen, und auf der anderen Seite eine Startaussage, die impliziert, dass es nicht um eine Trivialität ginge.
So kam ich dann letztendlich zu
\quoteon(2023-09-06 23:01 - polygamma in Beitrag No. 13)
Sind wir im Bereich Mathematik oder Religion unterwegs?
\quoteoff
da ich wirklich nicht sicher war, ob es um Mathematik geht, oder darum, dass man einfach nur so eine Wichtigkeit zuschreibt, ohne dass es dafür plausible Gründe gibt.
Ich möchte jetzt an dieser Stelle aber keine Religionsdebatte starten, mir ist egal, was andere von Religion halten (solange man mich damit in Ruhe lässt), ich halte davon jedoch nichts.
Nun geht es um
\quoteon(2023-09-06 23:18 - Primentus in Beitrag No. 16)
Es soll nur eine Art optische Veranschaulichung sein, warum in den Formeln die zuvor erwähnt wurden, die 81 vorkommt.
\quoteoff
Dass bei meinen Formeln die $\frac{1}{81}$ vorkommt, liegt an dem, was Primentus eingangs geschrieben hat, was ich kommentarlos in den Raum geworfen habe, da ich dachte, dass das nicht weiter kommentiert werden müsste.
\quoteon(2023-09-07 07:17 - polygamma in Beitrag No. 17)
Bei mir kommt der Wert vor wegen $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}=\frac{1}{81}$$
\quoteoff
Der Knackpunkt ist jedoch
\quoteon(2023-09-07 07:17 - polygamma in Beitrag No. 17)
Cramilu nutzt die Nachkommastellen, wie er es selbst genannt hat, als 'Bauerntrick', um damit die Nenner darzustellen.
Und es ist sogar so, dass die Näherung noch besser funktionieren würde, wenn die $8$ nicht fehlen würde.
Noch dazu verwendet er die simple Tatsache, dass $9^2=81$, sodass man rumkürzen kann in Kombination mit dem Zähler.
\quoteoff
So, wie cramilu $\frac{1}{81}$ nutzt, hat es nichts mit $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{10^{k+1}}$ zu tun, sondern einfach nur mit $\frac{1}{81}=\frac{12345679}{999999999}=0{,}\overline{012345679}$
Anders formuliert: Nur weil in verschiedenen Formeln die gleiche Zahl vorkommt, impliziert das (logischerweise) nicht, dass die "Ursache" für die Zahl die Gleiche ist...
Liebe Grüße
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.21, eingetragen 2023-09-09
|
Hallo polygamma,
ich will nur kurz auf das von Dir geschriebene antworten.
\quoteon(2023-09-09 02:31 - polygamma in Beitrag No. 20)
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^{k+1}}=1$$
\quoteoff
Gut, diese Formel von Dir zeigt, dass die andere Summenformel von Dir, die ich in meinem vorhergehenden Beitrag zitiert habe und bei der 1/81 herauskommt und deren erste Summanden ich händisch aufgelistet habe, offensichtlich nichts allzu besonders ist. Damit nehme ich meine Formulierung, dass die 81 bzw. deren Kehrwert eine "wichtige Rolle" spielen würde, woran Du Dich offensichtlich am meisten gestört hast, zurück. Der von mir genannte Zusammenhang ist dann offenbar doch nicht so bemerkenswert, wie ich dachte. Möglicherweise stellt dieser Zusammenhang also nichts dar, woraus man mathematisch weitere Zusammenhänge ableiten kann, aber dies habe ich auch nicht behauptet (falls es so geklungen hat, dann habe ich es nicht so gemeint).
Ich möchte aber nochmal darauf hinweisen, dass dieses $k=8$ (d. h. der Summand 0.000000008, der dem Bruch $\frac{8}{1000000000}$ entspricht) in meiner händischen Auflistung der Summanden definitiv nicht fehlt. Lediglich im Endergebnis, das ja 1/81 beträgt, fehlt bei den Dezimalstellen die 8, weil sich das bei der Periode von 012345679 rechnerisch so ergibt. Wenn man den Wert 1/81 in den Taschenrechner oder in ein CAS eingibt, sieht man auch, dass dort die Ziffer 8 stets fehlt, aber es fehlt keinesfalls der Summand 0.000000008, der zur Errechnung des Bruches 1/81 erforderlich ist.
Und ich möchte nochmal betonen - auch das ist vielleicht falsch rüber gekommen bei meinen Formulierungen - dass das was cramilu beschrieben hat, ein anderer Zusammenhang bzw. eine andere Vorgehensweise ist als das was ich beschrieben habe und daher sollten diese beiden Zusammenhänge (also meiner und der von cramilu) nicht vermischt werden. Ich habe mich auch mit der Vorgehensweise von cramilu gar nicht so sehr beschäftigt, weil ich einfach nur auf etwas hinweisen wollte, was sich jetzt im Nachhinein als gar nicht so besonders herausgestellt hat wie ich dachte.
Also sollte man den Zusammenhang, den ich erwähnt habe, jetzt gar nicht so hoch hängen, weil es anscheinend nichts allzu besonderes ist.
LG Primentus
|
Profil
|
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.22, eingetragen 2023-09-09
|
So... Zahlenkolonnen werde ich ggf. nachreichen.
Mit den Online-Präzisionsrechnern von mathisfun.com
und baseconvert.com könnt Ihr gewiss selber umgehen.
Jedenfalls:
$$
\frac{1}{7^2}_{(8)}\quad=\quad\frac{1}{7^2}_{(10)}\quad=\quad\frac{1}{61}_{(8)}\quad=\quad\frac{1}{49}_{(10)}\quad=\quad{...}
$$
$$
{...}\quad=\quad0{,}\overline{012\,3457}_{(8)}\quad\approx\quad0{,}020\,408\,163\,265\,3.._{(10)}
$$
und
$$
\frac{1}{\text{f}^2}_{(16)}\quad=\quad\frac{1}{15^2}_{(10)}\quad=\quad\frac{1}{\text{e}1}_{(16)}\quad=\quad\frac{1}{225}_{(10)}\quad=\quad{...}
$$
$$
{...}\quad=\quad0{,}\overline{012\,345\,678\,9\text{ab}\,\text{cdf}}_{(16)}\quad=\quad0{,}00\overline{4}_{(10)}
$$
Seien also \(b>1\) die Zahlenbasis und \(n>0\) die Länge
der jeweiligen geordneten Ziffernkolonnen von Zähler
und Nenner, dann sollte für \(0Thure: Erspare es Dir also, wenn Du magst! 😉
Ach so...
$$
\frac{1}{(b-1)^2}_{\;(b)}\quad=\quad\frac{1}{[b-2]\&1}_{\;(b)}\quad=\quad0{,}\overline{012\,{...}\,[b-4]\&[b-3]\&[b-1]}_{\;(b)}
$$
gilt wohl in allen Stellenwertsystemen mit Basis \(b\) .
@Primentus: Was kommt heraus, wenn...
\showon
\sourceon
0,02 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 04 . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 08 . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 16 . . . . . . . . . . . . . . .
+ 32 . . . . . . . . . . . . . .
+ 64 . . . . . . . . . . . . .
+ 128 . . . . . . . . . . . .
+ 256 . . . . . . . . . . .
+ 512 . . . . . . . . . .
+ 1024 . . . . . . . . .
+ 2048 . . . . . . . .
+ 4096 . . . . . . .
+ 8192 . . . . . .
+ 16384 . . . . .
+ 32768 . . . .
+ 65336 . . .
+ 131072 . .
+ 262144 .
+ 524288
========================================
?
Und 3 / 997 sind auch 'lustig'.
\sourceoff
\showoff
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.23, eingetragen 2023-09-11
|
\quoteon(2023-09-09 16:25 - cramilu in Beitrag No. 22)
@Primentus: Was kommt heraus, wenn...
\showon
\sourceon
0,02 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 04 . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 08 . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 16 . . . . . . . . . . . . . . .
+ 32 . . . . . . . . . . . . . .
+ 64 . . . . . . . . . . . . .
+ 128 . . . . . . . . . . . .
+ 256 . . . . . . . . . . .
+ 512 . . . . . . . . . .
+ 1024 . . . . . . . . .
+ 2048 . . . . . . . .
+ 4096 . . . . . . .
+ 8192 . . . . . .
+ 16384 . . . . .
+ 32768 . . . .
+ 65336 . . .
+ 131072 . .
+ 262144 .
+ 524288
========================================
?
Und 3 / 997 sind auch 'lustig'.
\sourceoff
\showoff
\quoteoff
Hallo cramilu,
\showon
das sind die Zweierpotenzen "treppenförmig in die Dezimalstellen eingehängt" (salopp ausgedrückt). Da kommt 1/49 heraus. Also interessant finde ich diese Art, eine Summe aus Brüchen zu konstruieren schon irgendwie, aber wie ich zuvor schon geschrieben habe und jetzt auch wieder erkenne, gibt es da offenbar doch sehr viele Möglichkeiten, so etwas zu formulieren. Aber ich denke, man hätte doch vorab - d. h. ohne groß zu rechnen - nicht sagen können, welches Ergebnis da genau herauskommt - oder doch? Das Ergebnis basiert zumindest auf einer 7er-Potenz und nicht einer 2er-Potenz.
\showoff
Edit:
\showon
Du hast noch 3/997 genannt - da habe ich noch nicht herausgefunden, mit welcher "Bruch-Treppe" sich das konstruieren lässt. Aber 3/97 jedenfalls kommt heraus, wenn man Deine Methode aus Beitrag #22 wählt und die 2er-Potenzen durch 3er-Potenzen ersetzt.
\showoff
LG Primentus
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.24, eingetragen 2023-09-12
|
@Primentus, wenn du möchtest, hier ein kleiner Tipp:
\showon
Geometrische Reihe
\showoff
Liebe Grüße
PS: Ich bin mir nicht sicher, ob wir noch über Dinge schreiben, die Thure interessieren ;D
Nicht, dass ich es nicht interessant fände, aber ich frage mich, ob man den Thread "abspalten" will oder so?
Keine Ahnung, ob das nur matroid kann, oder Moderatoren, oder Senioren - ihr wisst da alle mehr drüber.
Ich werfe es also nur als Idee in den Raum :)
|
Profil
|
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.25, eingetragen 2023-09-12
|
Der Schlüssel zum 'Bauerngetrickse' mit Brüchen
liegt tatsächlich in geometrischen Reihen, wie
polygamma schon bekundet hat.
Man 'braucht' da auch bloß zwei allgemeine Summen:
$$
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\left(\,\frac{1}{r}\,\right)^{m\,\cdot\,k}\quad=\quad\frac{1}{r^{\,m}\,-\,1}
$$
$$
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\left(\,\frac{r}{10^{\,m}}\,\right)^k\quad=\quad\frac{r}{10^{\,m}\,-\,r}
$$
Jeweils für \(r\in\mathbb{R}\,(r>1)\) und bei der unteren \(r<10^m\) .
Beispiel 3-er-Potenzen, jeweils um drei Dezimalstellen
versetzt (untere Summe):
$$
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\left(\,\frac{3}{1\,000}\,\right)^k\quad=\quad\frac{3}{997}
$$
|
Profil
|
thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1774
Wohnort: Kiel, Deutschland
| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-16
|
Ich danke euch sehr für eure Beiträge.
mfg
thureduehrsen
|
Profil
|
Primentus
Senior
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 2179
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.27, eingetragen 2023-09-18
|
Hallo polygamma, hallo cramilu,
vielen Dank für Eure Erklärungen.
Stimmt - geometrische Reihe - da war doch mal was (hatte ich schon mal in meinem Werdegang). Aber hatte ich nicht mehr auf dem Schirm.
Dann erklärt sich das jetzt für mich nochmal besser mit den diversen "Bruch-Treppen".
@cramilu:
Ah - $\frac{3}{1000}$ waren es, die da zugrunde lagen und potenziert und aufsummiert wurden. Da bin ich nicht draufgekommen - inklusive, dass Du "Schlawiner" sogar eine Verschiebung um drei Dezimalstellen vorgenommen hast. 😂
Schön, dass sich die Summen der potenzierten Brüche im Ergebnis so einfach darstellen lassen! Das werde ich mir vielleicht bei Gelegenheit nochmal genauer anschauen.
LG Primentus
|
Profil
|
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2652
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.28, eingetragen 2023-09-18
|
Guten Abend Primentus,
eine Anschauung, die auch lohnen kann, ist diejenige,
welche Primzahlkehrwerte in ihrer jeweiligen Bruchpe-
riode wieviele Stellen aufweisen. Und warum... 😉
|
Profil
|
polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 364
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.29, eingetragen 2023-09-21
|
Hallo, Primentus :)
Ich wollte gerne noch einmal zeigen, wie man zu den geometrischen Reihen gelangt, das könntest du ggf. nochmal interessant finden.
\quoteon(2023-09-09 16:25 - cramilu in Beitrag No. 22)
\showon
\sourceon
0,02 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 04 . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 08 . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 16 . . . . . . . . . . . . . . .
+ 32 . . . . . . . . . . . . . .
+ 64 . . . . . . . . . . . . .
+ 128 . . . . . . . . . . . .
+ 256 . . . . . . . . . . .
+ 512 . . . . . . . . . .
+ 1024 . . . . . . . . .
+ 2048 . . . . . . . .
+ 4096 . . . . . . .
+ 8192 . . . . . .
+ 16384 . . . . .
+ 32768 . . . .
+ 65336 . . .
+ 131072 . .
+ 262144 .
+ 524288
========================================
?
Und 3 / 997 sind auch 'lustig'.
\sourceoff
\showoff
\quoteoff
Wir summieren Zahlen auf, also haben wir $\sum$
Darüber hinaus kommen die Zweierpotenzen vor, also $\sum_{k=1}^\infty2^k$
Jetzt guckt man scharf hin, um noch die Teilung durch $10$er Potenzen korrekt abzubilden und landet bei $$\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{10^{2k}}$$
Nun schreiben wir einfach nur leicht um $$\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{10^{2k}}=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{10^2}\right)^k$$
Jetzt machen wir es ein bisschen allgemeiner, seien $b,p\in\IN$ $$\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{b}{10^p}\right)^k$$
Man siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Für $|q|<1$ gilt $$\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$
Wir erhalten für $b<10^p$ $$\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{b}{10^p}\right)^k=\frac{b}{10^p-b}$$
Im Beispiel von cramilu gilt $b=2$ und $p=2$ und somit $$\frac{b}{10^p-b}=\frac{1}{49}$$
\quoteon(2023-09-11 19:57 - Primentus in Beitrag No. 23)
Da kommt 1/49 heraus.
\quoteoff
Wenn man nun wissen will, wie man auf $\frac{3}{997}$ kommt, nimmt man einfach, dass gilt $$\sum_{k=1}^\infty q^k=\frac{q}{1-q}$$
also $$\frac{3}{997}=\frac{q}{1-q}\Longrightarrow q=\frac{3}{1000}=\frac{3}{10^3}$$
\quoteon(2023-09-12 21:45 - cramilu in Beitrag No. 25)
Beispiel 3-er-Potenzen, jeweils um drei Dezimalstellen
versetzt (untere Summe):
$$
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\left(\,\frac{3}{1\,000}\,\right)^k\quad=\quad\frac{3}{997}
$$
\quoteoff
Liebe Grüße
|
Profil
|
thureduehrsen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
thureduehrsen hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-11-29 01:19 ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
