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| Autor |
 Beweis: Es gibt keine größte Kardinalzahl |
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Cyborg
Aktiv 
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 712
 |  Themenstart: 2023-09-16 13:23
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Hallo, Leute!
Ich habe folgendes aufgeschrieben:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/26086_frage.jpg
Folgende Frage:
Kann man für ein beliebiges Unendlich $\infty_b$ immer eine Menge $M$ finden mit $|M|=\infty_b$? Zum Beispiel ist für $\infty_{\mathbb{N}}$ dann $\infty_{\mathbb{N}}=|\mathbb{N}|$.
Oder kann ich aus dem Satz von Cantor nur behaupten, dass es keine MENGE gibt, deren Mächtigkeit die Größte ist?
Ich danke euch!!
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-16 13:51
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Hallo Cyborg,
wenn man "ein Unendlich" definiert als die Mächtigkeit einer unendlichen Menge, dann ergibt sich die Antwort deiner Frage aus der Definition. (Und so wird es ja auch im Beweis zum Korollar gemacht.)
Wie sonst sollte man "ein Unendlich" definieren?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2582
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-16 14:05
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
von verschiedenen $\infty$ zu sprechen, ist für deine Fragestellung etwas zu schwammig. Du sprichst hier ja eigentlich von Kardinalzahlen. Eine mögliche Definition von Kardinalzahlen in ZFC verwendet die Ordinalzahlen und legt $\opn{card}(A)$ für eine Menge $A$ als die kleinste Ordinalzahl $\alpha$ fest, die gleichmächtig zu $A$ ist. Ordinalzahlen können wiederum als bestimmte wohlgeordnete Mengen definiert werden.
Auf diese Weise ist klar, dass es zu jeder Kardinalzahl eine Menge geben muss, die diese als Kardinalität besitzt. Deine Überlegungen suggerieren hingegen eher, dass "die verschiedenen Unendlichkeiten" irgendwie a priori da sind. Dann müsstest du erstmal eine Definition dafür geben.
LG Nico
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Cyborg
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Dabei seit: 20.05.2009
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-16 15:24
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Danke für eure Antworten!
Ich werde das Korollar vorsichtshalber so formulieren:
Es gibt keine MENGE, deren Mächtigkeit die Größte ist!
ÜBRIGENS:
Ein weiteres Korollar ist, dass die MENGE A, die alles enthält, nicht exisitiert, denn: $P(A)\subseteq A\Rightarrow |P(A)|\leq|A|$, im Widerpruch zum Satz von Cantor: $|P(A)|>|A|$.
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 170
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-16 15:36
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Auf welchen Prämissen beruht der Satz v. Cantor? Was würde passieren, wenn man diese Prämissen streicht und der Satz damit nicht mehr gilt? Würde dann trotzdem noch gelten, dass es keine größte Menge gibt?
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Cyborg
Aktiv
Dabei seit: 20.05.2009
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-18 15:05
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Hallo!
\quoteon(2023-09-16 15:24 - Cyborg in Beitrag No. 3)
ÜBRIGENS:
Ein weiteres Korollar ist, dass die MENGE A, die alles enthält, nicht exisitiert, denn: $P(A)\subseteq A\Rightarrow |P(A)|\leq|A|$, im Widerpruch zum Satz von Cantor: $|P(A)|>|A|$.
\quoteoff
Ist die Formulierung, dass es "A nicht gibt" korrekt, weil ihre Existenz einen Widerspruch erzeugt???
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2582
Wohnort: Köln
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-18 17:08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
die Formulierung klingt vielleicht etwas seltsam: "Die Menge aller Mengen ist keine Menge". In ZFC könnte man zum Beispiel sagen, dass die Klasse aller Mengen $\lbrace x\mid x=x\rbrace$ (die sog. Allklasse) eine echte Klasse (sprich: keine Menge) ist. Du kannst aber auch sagen, dass es keine Menge gibt, die alle Mengen als Elemente enthält.
LG Nico\(\endgroup\)
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Cyborg
Aktiv
Dabei seit: 20.05.2009
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-18 17:52
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Pippen
Aktiv
Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 170
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-19 02:18
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\quoteon(2023-09-18 17:08 - nzimme10 in Beitrag No. 6)
Hallo,
die Formulierung klingt vielleicht etwas seltsam: "Die Menge aller Mengen ist keine Menge". In ZFC könnte man zum Beispiel sagen, dass die Klasse aller Mengen $\lbrace x\mid x=x\rbrace$ (die sog. Allklasse) eine echte Klasse (sprich: keine Menge) ist. Du kannst aber auch sagen, dass es keine Menge gibt, die alle Mengen als Elemente enthält.
LG Nico
\quoteoff
Das Objekt {x | x = x} gibt es überhaupt nicht, ob als Menge, Klasse oder sonstige Sammlung, weil aus ihm Widersprüche folgen. Wenn man von diesem Objekt als echter Klasse spricht, dann meint man nicht {x | x = x}, sondern {x | x = x}‘ und das ist was anderes, nämlich ein Objekt {x | x = x}, wo $\color{red}{zusätzlich}$ gilt, dass x nicht seinerseits Klassen beinhaltet (oder so ähnlich). Als Anfänger wird man da unnötig verwirrt. Man glaubt nämlich die Allmenge ist sowas wie 1.5: als natürliche Zahl in IN nicht existent, aber dafür in Q. Aber die Allmenge ist eher vglbar mit x/0, egal in welchem Kontext, es ist nicht definiert und dort wo es definiert ist, zB als Limes, da ist es nicht mehr wirklich x/0.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-19 02:35
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
@Pippen: $\lbrace x\mid x=x\rbrace$ ist einfach eine übliche Abkürzung / Schreibweise für die Allklasse. Wenn man mit diesem abuse of notation (die in der Mathematik überall sind) richtig umgeht, dann ergeben sich auch keine Widersprüche oder dergleichen.
Wikipedia weiß mehr dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Klasse_(Mengenlehre)
LG Nico\(\endgroup\)
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Pippen
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-19 03:58
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Aber es erschwert den Zugang und erklärt die Frustration bei Anfängern, zumal KEIN Einführungsbuch darauf eingeht. {x | x = x} ist keine Menge wg. Russell, aber echte Klasse…statt hinzuzufügen, dass die echte Klasse {x | x = x} keinesfalls die Russellsche Klasse enthalten darf, so dass sie ein ganz anderes Objekt ist als das ursprüngliche {x | x = x}, wo das ging. MaW. Cantor‘s Allmenge, also das naive {x | x = x}, gibt es weder als Menge noch als Klasse noch als sonst eine Ansammlung.
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-09-19 15:18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
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\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Das mag ja sein Pippen, aber trotzdem berechtigt das nicht dazu, diese Konventionen als falsch zu deklarieren. Ich habe z.B. niemals behauptet, dass $\lbrace x\mid x=x\rbrace$ als Menge zu verstehen ist, sondern als echte Klasse. Genau wie $\lbrace x\mid x\notin x\rbrace$ auch nicht als Menge verstanden werden kann (auch wenn das in ZFC ebenfalls die Allklasse ist).
Die Schreibweise und der "moderne" Umgang mit Klassen hat sich natürlich aus der Geschichte der Mengenlehre heraus entwickelt und ist für die mathematische Praxis sehr nützlich. Wenn man nicht gerade an den ganz konkreten Fundamenten interessiert ist, dann muss man sich darüber vermutlich nicht viele Gedanken machen. Andernfalls kann man dies aber in einem anderen Thread hier natürlich tun.
LG Nico\(\endgroup\)
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