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 Burnside-Lemma |
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ramy69
Aktiv 
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Mitteilungen: 252
 |  Themenstart: 2023-09-21
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Gibt es eventuell eine Art Schritt für Schritt Methode, um an alle Drehungen und Fixpunkte zu kommen? Bzw was ist genau mit Fixpunkten gemeint? Das wird mir nicht richtig ersichtlich. :D Ist damit eine Kante oder ein Eckpunkt gemeint?
Es sind immer 90, 120, 180 und 0 Grad Drehungen dabei.
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-21
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Hallo,
noch weniger Kontext kannst du eigentlich gar nicht mehr geben😁 Beim Lemma von Burnside geht es laut Wikipedia um die Anzahl der Orbits einer Gruppenwirkung. Wenn du hier nun eine konkrete Gruppenwirkung auf eine bestimmte Menge im Sinn hast, dann gib diese auch an.
Im relevanten Artikel (https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Burnside) wird ebenfalls erklärt, was ein Fixpunkt hier ist etc.
LG Nico
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ramy69
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-21
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Ja :D das stimmt :D
Also ich versuche eigentlich ein gewisses Muster zu finden. :D Aber mich beschäftigt derzeit der Tetraeder :D. Ich möchte eine allgemeine Formel dafür haben. :D
Ja ich hatte auch bei Wikipedia geschaut, aber es ist mir noch nicht ganz klar geworden :D
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Wenn du nicht ausführlicher beschreibst, was dir vorschwebt und was genau du nicht verstehst, dann kann man dir auch nur recht unspezifische allgemeine Antworten geben.
Sei $G$ eine Gruppe, die vermöge
$$
\vartriangleright\colon G\times X\to X, \ (g,x)\mapsto g\vartriangleright x
$$
auf eine Menge $X$ wirkt. Für jedes $g\in G$ induziert diese Gruppenwirkung eine Abbildung
$$
(g\vartriangleright)\colon X\to X, \ x\mapsto g\vartriangleright x.
$$
Ein Fixpunkt bezüglich $g\in G$ ist nun ein $x\in X$ mit $(g\vartriangleright)(x)=x$. Ein Fixpunkt bezüglich $g$ wird von der Wirkung mit $g$ also einfach festgehalten (wie der Name schon sagen will).
Ein Beispiel: Wir betrachten $G=\opn{SO}(3)$. Wir können $G$ dann z.B. konkret durch die üblichen Rotationsmatrizen realisieren und erhalten damit die Wirkung
$$
\vartriangleright\colon \opn{SO}(3)\times \mathbb R^3\to \mathbb R^3, \ (A,x)\mapsto Ax.
$$
Für ein gegebenes $A\in\opn{SO}(3)$ sind die Fixpunkte gerade Lösungen von $Ax=x$, d.h. der Eigenraum zum Eigenwert $1$. Speziell die Rotationsachse der jeweiligen Drehung besteht aus lauter Fixpunkten der jeweiligen Wirkung.
LG Nico\(\endgroup\)
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ramy69
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-21
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Ja ok dem kann ich halbwegs folgen.
Aber mal konkret an dem Würfel auf Wikipedia. Was genau wäre jetzt bei einer Drehung um 180 der Seiten ein Fixpunkt? Ich glaube dann habe ich es geblickt?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Bei dem Kubus geht es um die Färbungen der einzelnen Seiten. Du kannst gedanklich jeder der Seiten eine Nummer von $1$ bis $6$ geben, so dass du die Seiten unterscheiden kannst.
Die Menge $X$ könnte man dann als
$$
X=\lbrace (f_1,\dots,f_6)\mid f_j\in \lbrace A,B,C\rbrace\rbrace
$$
notieren, wobei $A,B$ und $C$ die drei verschiedenen Farben seien und $f_j$ die Farbe der Seite $j$ angebe.
Ein Fixpunkt einer bestimmten Drehung des Kubus ist in diesem Fall eine bestimmte Färbung des Kubus, die durch die Drehung nicht verändert wird. Sprich: Wenn du den Würfel von einer bestimmten Perspektive betrachtest und dann die jeweilige Drehung durchführst, dann sieht der Würfel nach dieser Drehung exakt wieder so aus, wie davor.
LG Nico\(\endgroup\)
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ochen
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-21
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Hallo,
Fixpunkte sind in diesem Fall alle Färbungen des Würfels, die durch die 180° Drehung in sich selbst übergehen.
Wir nehmen den Würfel $[-1, 1]^3$ und drehen ihn um 180° um die x-Achse, d. h. wir multiplizieren $y$ und $z$ Komponente mit -1.
Die Seitenflächen $\{-1\}\times [-1, 1]^2$ und $\{1\}\times [-1, 1]^2$ werden auf sich selbst abgebildet. Das bedeutet ihre Farbe ist egal. Die Seitenflächen $[-1, 1]\times \{-1\}\times [-1, 1]$ und $[-1, 1]\times \{1\}\times [-1, 1]$ tauschen die Plätze, dh. sie müssen die gleiche Farbe haben. Die Seitenflächen $[-1, 1]^2\times\{-1\}$ und $[-1, 1]^2\times\{1\}$ tauschen ebenfalls. Sie müssen ebenfalls die gleiche Farbe haben. Das macht $3^4$ mögliche Färbungen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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ramy69
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-21
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Ok ja jetzt leuchtet es ein.
Um jetzt nochmal den auf den Tetraeder zurück zu kommen. Dieser hat keine vorgegebene Färbung und ich will eine Formel dafür: auf wie viele verschiedene Weisen kann man die Seiten mit den n Farben färben
Jetzt komme ich auf:
einmal die Identität Winkel als 0 Grad, Anzahl der Drehungen 1 und Fixpunkte n^4
dann gibt es 8 Drehungen um 120 Grad an den 4 möglichen Drehachsen zwischen einer Ecke und einem Mittelpunkt. Dann kann man jeweils in die eine und andere richtung drehen also 8
und noch 3 180 grad drehungen bei der man durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegenden Kanten die Drehachse macht.
also:
$\frac{1}{12}(n^4+8n^a+3n^b)$
a und b hängen jetzt noch von den Fixpunkten ab. da stehe ich irgendwie immernoch auf dem Schlauch :D
ich meine a=3 und b=2.
Denn bei a kann ich ja den tetraeder auf eine seite Stellen diese ist auf dem Boden. Dann nehme ich die Achse die von Spitze zum Boden geht und diese kann nur 3 unterschiedliche Bilder hervorrufen.
Selbes Prinzip für b
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