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  Limes x->0 (-1/sin²(x) + 1/x²) |
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LadiesMan217
Aktiv 
Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2023-09-21
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Helloo, ich will den folgenden Grenzwert rechnen:
$\lim_{{x \to 0}} \left( -\frac{1}{\sin^2(x)} + \frac{1}{x^2} \right)$
Idee 1: Auf einen Nenner und dann L'H:
$\lim_{{x \to 0}} \left( -\frac{1}{\sin^2(x)} + \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{{x \to 0}} \left( \frac{-x^2+\sin^2(x)}{x^2 \sin^2(x)} \right)$
Problem: da man jetzt wahrscheinlich mind. 3-mal L'H anwenden müsste, erscheint mir der Weg nicht optimal.
Idee 2: Summandenschreibweise
die ersten 2-3 Summanden der Taylorreihe des Sinus ausschreiben und die größeren Terme mit der O-Notation garnieren.
Problem: der Sinus steht im Quadrat und hindert an weiteren Umformungen. Ich sehe nicht, wie man das Problem umgehen könnte.
Idee 3: Umschreiben des SInus und dann die Reihenschreibweise aus Idee 2
schreibe \(sin^2(x)\) in \(\frac{1-cos(2x)}{2}\) um und schreibe dann die Summanden des Cosinus aus. Es sieht schon etwas günstiger aus. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt man auf:
$\frac{-2x^2 + (1-\cos(x))}{x^2(1-\cos(2x))} \stackrel{!}{=} \frac{-2x^2 + \left( \frac{4x^2}{2} - O(x^4) \right)}{x^2 \left( \frac{4x^2}{2} - O(x^4) \right)} = \frac{-O(x^4)}{\frac{4x^4}{2} - O(x^4)}$
Dann ist mir aufgefallen, dass ich zumindest oben noch einen Summanden des Kosinus brauche und bin dann auf
$\frac{-16x^4/24 - O(x^6)}{2x^4 - O(x^4)}=-\frac{1}{3}$
gekommen.
Fragen:
Frage 1: ist Idee 3 korrekt gerechnet?
Frage 2: Ist Idee 3 (gegeben sie ist richtig) ein umständlicher, oder ein "guter" Weg.
Frage 3: Wäre eine der anderen Ideen doch vielleicht richtig gewesen / hätte schneller zum Erfolg geführt und gibt es generell vielleicht einen einfacheren Weg der hier nicht gelistet ist, der mit relativ elementaren Mitteln auskommt, die man im 1. Semester zur Hand hat.
Freu mich über Antworten von euch!
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11108
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-21
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Hallo,
einmal als erste schnelle Antwort: ich denke, deine Idee 3) ist schon richtig, zumindest kommt dabei der korrekte Grenzwert heraus.
Und die Regel von de l'Hospital müsste man hier IMO sogar viermal anwenden, bis man im Nenner einen Term erhält, der nicht gegen Null geht (sofern ich mich nicht verrechnet habe). Das sollte die Frage nach der Attraktivität deines Ansatzes beantworten. ;-)
Gruß, Diophant
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-21
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Das Umschreiben des Sinus in Idee 3 erscheint mir unnötig. Die simple Lösung mit Idee 2 ist doch wirklich nicht aufwendig:$$
{1\over\sin^2x}={1\over\left[x-{x^3\over6}+\ldots\right]^2}=
{1\over x^2}\cdot{1\over\left[1-{x^2\over6}+\ldots\right]^2}=
{1\over x^2}\cdot\left[1+{x^2\over3}+\ldots\right]=
{1\over x^2}+\frac13+\ldots$$--zippy
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11108
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-21
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Hallo nochmals,
ich habe ein wenig in den Tiefen des Forums gekramt und dabei dieses Schmankerl entdeckt. Das ist dann wohl an Einfachheit hier nicht mehr zu toppen, oder irre ich mich?
Gruß, Diophant
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-21
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Das ist eine schöne Lösung für diesen Spezialfall, aber aus meiner Sicht genau wie die Idee 3 "zu kreativ" um daraus etwas für ähnliche Aufgaben zu lernen.
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LadiesMan217
Aktiv
Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-21
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schöne Lösung von Kollege Siah, da wäre ich wohl nie drauf gekommen.
@Zippy:
\quoteon(2023-09-21 21:15 - zippy in Beitrag No. 2)
$${1\over x^2}\cdot{1\over\left[1-{x^2\over6}+\ldots\right]^2}=
{1\over x^2}\cdot\left[1+{x^2\over3}+\ldots\right]$$
\quoteoff
das ist wahrscheinlich eine recht einschlägige Umformung, aber ich stehe leider gerade auf dem Schlauch: wie hast du die Summe vom Nenner nach oben bekommen, etc.?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-22
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\quoteon(2023-09-21 22:32 - LadiesMan217 in Beitrag No. 5)
wie hast du die Summe vom Nenner nach oben bekommen
\quoteoff
Du kannst enweder erst den Nenner quadrieren und dann die geometrische Reihe anwenden,$$
{1\over\left[1-{x^2\over6}+\ldots\right]^2} =
{1\over\left[1-2\,{x^2\over6}+\ldots\right]} =
1+2\,{x^2\over6}+\ldots =
1+{x^2\over3}+\ldots\;,
$$oder gleich zur binomischen Reihe zum Exponenten $-2$ greifen,$$
{1\over\left[1-{x^2\over6}+\ldots\right]^2} =
\left[1-{x^2\over6}+\ldots\right]^{-2} =
1-{-2\choose 1}\,{x^2\over6}+\ldots =
1+{x^2\over3}+\ldots \;. $$In beiden Fällen musst du nicht weiter als bis zum ersten Term nach $x^0=1$ rechnen.
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LadiesMan217
Aktiv
Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Aha, sehr schön, besten Dank für die Erläuterung.
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LadiesMan217 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LadiesMan217 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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