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  volumenerhaltende Abbildung für die Verzerrung von Pyramiden |
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Boy666
Aktiv 
Dabei seit: 09.03.2018
Mitteilungen: 36
 |  Themenstart: 2023-09-30
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Hallo zusammen!
Ich suche eine konkret als Formel darstellbare Abbildung, die eine 3-dimensionale Pyramide mit beliebiger, zusammenhängender Grundfläche derart verzerrt, dass die Grundfläche von der Transformation unberührt bleibt und die Höhe der Pyramide gleich. Sprich im Grunde soll nur die Spitze der Pyramide so verschoben werden, dass die Höhe gleich bleibt und die Verbindungsstrecken von der Grundfläche zur Spitze "mitgehen".
Ich hätte jetzt erstmal die Grundfläche in die x-y Ebene gelegt und schonmal angenommen, dass die Transformation von der Höhe des jeweiligen Punktes abhängt, sodass die Punkte mit Höhe 0 identisch bleiben (Grundfläche), aber für alle Punkte die Höhe bei der Transformation unangetastet bleibt.
Aber ansonsten stecke ich hier leider gerade fest.
Danke und viele Grüße
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tbd_RM
Neu 
Dabei seit: 01.04.2023
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-30
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Hallo,
wenn die Grundfläche in der x-y-Ebene liegt, kannst du es hiermit mal versuchen:
(x, y, z) —> (x+z, y+z, z)
Die Grundfläche bleibt dabei wegen z=0 unberührt. Je höher (oder tiefer) man an der z-Achse entlang geht, umso stärker ist die Verzerrung in Richtung des ersten (oder siebten) Oktanden.
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Boy666
Aktiv
Dabei seit: 09.03.2018
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-30
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Hey! Ja danke das stimmt... Ich war vorher zu sehr auf direkte Multiplikation fixiert. Wenn man den Gedanken weiterspinnt und sich die konkreten Mengen anguckt, wird die Problemstellung allgemein durch Abbildungen der Form f(v)=Iv+bz realisiert, wobei v=(x,y,z) und b=(b1,b2,0) mit b1,b2 aus den reellen Zahlen (I Einheitsmatrix).
Da nun Determinante der Jacobi-Matrix von f gleich 1 ist, ergibt sich mit Transformationssatz der Integralrechnung, dass die Volumina der ursprünglichen sowie der transformierten Pyramide gleich sind (daher kam der Gedanke), wenn die Grundfläche und Höhe gleich bleiben.
lg
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Boy666 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Boy666 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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