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| Autor |
 Unterjährige Verzinsung, Exponentialfunktion |
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traveller
Senior 
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2723
 |  Themenstart: 2023-11-20 17:10
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Hallo,
Zur Motivation des Grenzwertes
$$e^z=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right) ^n$$
wird öfters die unterjährige Verzinsung angeführt.
Nun erscheint es mir doch recht willkürlich, den Jahreszinssatz $z$ einfach arithmetisch durch die Anzahl Zinsausschüttungen $n$ zu teilen. Gibt es hierzu eine finanzmathematische Begründung?
Man könnte doch auch jedes Mal mit $\left(1+z\right)^\frac{1}{n}$ verzinsen. Dann wäre die jährliche Verzinsung unabhängig von der Anzahl Zinsausschüttungen.
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 Profil
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Kohlenstoffderivat
Aktiv 
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-20 18:49
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Hallo,
ich würde sagen, weil man somit eine gute Möglichkeit hat, die unterjährige Verzinsung, die ausgeschüttet wird und aber direkt wieder mitangelegt wird (Zinseszins) zu modellieren.
In dem Beispiel ist es vielleicht auch etwas unübersichtlich mit den Zeiteinheiten. Wir haben ein Kapital normiert mit 1€ und einen Anlagezeitraum, der hier auf 1 Jahr normiert ist und dieses Jahr teilen wir in n Perioden auf.
Man teilt den jährlichen Zins (p.a.) z auf n Perioden auf und als Exponent nimmt man wiederum n, da über diese Perioden immer wieder das Kapital neu verzinst wird. Insgesamt liegt man dann durch den Zinseszinseffekt über dem Jahreszins z (p.a.), also hat effektiv mehr Zinsen / Rendite bekommen, als hätte man nur über ein Jahr den Euro angelegt - was wiederum das Problem mit deinem Vorschlag ist, da dann:
$1 \cdot [(1+\frac{z}{n})^\frac{1}{n}]^n = 1 \cdot (1+z) $ einfach nur der jährliche Zins realisiert wird.
Vielleicht kann man hierzu noch anmerken, dass in zeitstetigen finanzmathematischen Modellen (bspw. Black-Scholes-Modell) oft der stetige Zinssatz (auch Zinsrate genannt) mit $e^{r_s \cdot (T-t)} $ vorkommt, wobei $r_s$ der stetige Zinssatz ist und $T$ der Anlagezeitraum und $t$ der Zeitpunkt, in dem man gerade ist (i.d.R. $t=0$).
Insbesondere muss in den Gleichgewichtsmodellen immer $e^{r_s(T-t)} = (1+r_d) $ gelten, wobei dann $r_d$ der diskrete Zinssatz pro Periode ist.
Eventuell kannst du da noch mal tiefer recherchieren, falls Bedarf besteht.
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7269
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-11-20 23:23
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Versetzt man sich gedanklich ein paar Jahrzehnte zurück, landet man in einer Zeit, in der der Anleger bereits eine angemessene Verzinsung für unterjährig angelegtes Kapital erwartet hat, aber Banken und Co. nicht beliebig komplizierte Rechnungen durchführen konnten. Eine lineare Aufteilung des Zinsertrags war da naheliegend. Zumindest im privaten Bereich brachte das den Banken auch keinen großen Nachteil, da die Zinsgutschrift nur einmal im Jahr erfolgte. Der Ansatz $(1+1/n)^n$ war daher ein theoretisches, was würde passieren, wenn die Gutschrift einmal im Halbjahr / im Quartal / im Monat / in der Woche / am Tag erfolgen würde.
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