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 Lebesgue-Messbarkeit des Randes einer Menge |
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12Tim
Neu 
Dabei seit: 20.11.2023
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2023-11-20 17:24
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Moin,
Folgendes Problem:
Sei \(\Omega \subseteq R^n\) offen und beschränkt und mit stetigem Rand. Wie zeige ich, dass der Rand \(\partial\Omega\) Lebesgue Maß 0 hat und, dass \(\overset{\circ}{\bar{\Omega}} = \Omega\) gilt?
Für Maß 0 wäre meine Idee den Rand mit Kugeln zu überdecken. Diese existieren wegen der Stetigkeit. Da \(\Omega\) beschränkt ist ist die Überdeckung der Kugeln eine abzählbare und die Radien sollten auch gegen 0 gehen. Kann ich daraus irgendwie Maß 0 folgern?
Vielen Dank für die Antworten
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-11-20 17:55
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Hallo,
könntest du noch die konkret zu verwendende Definition eines stetigen Rands angeben?
LG Nico
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12Tim
Neu
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Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-20 19:23
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Eine Menge \(\Omega\) hat einen stetigen Rand, falls für alle \(x\in\partial\Omega\) eine offene Umgebung \(U\subseteq \partial\Omega\) von \(x\) existiert, sodass \(U\) der Graph einer stetigen Funktion ist.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-11-20 19:58
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Vermutlich nicht nur irgendeine stetige Funktion, sondern eine mit $n-1$ Variablen und Werten in $\mathbb R$, oder?
Ich würde mir an deiner Stelle zunächst überlegen, warum der Graph solch einer stetigen Funktion eine messbare Menge ist und dann z.B. mit Fubini/Tonelli zeigen, dass solch ein Graph eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Anschließend könntest du die Kompaktheit von $\partial\Omega$ nutzen, um $\partial\Omega$ mit endlich vielen solchen Umgebungen zu überdecken.
LG Nico\(\endgroup\)
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12Tim
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-20 20:53
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Ah Danke. Ich denke ich habe eine Idee
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12Tim
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-11-20 23:12
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Das mit Fubini hat nun geklappt. Hast du auch eine Idee für \(\overset{\circ}{\bar{\Omega}} = \Omega\)?
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| 12Tim hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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