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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Körper/Vektorräume
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Kein bestimmter Bereich Körper/Vektorräume
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-01-08


Hallo Zusammen!

Neues Jahr, neue Proble... Wer kann mir helfen?

Sei K ein Körper und seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume und  j  Î Homk(V,W). Zeige, dass es ein r Î N0 gibt, mit r £min {dimk(V),dimk(W)}, sowie (geordnete) Basen B von V und C von W, so daß die Abbildungsmatrix M("B über C")( j ) folgende Form hat:

(Er|0)
----
(0 |0)

Uli 



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-01-09


f : V -> W



Sei w1, w2, ... wr eine Basis von Im(f).

Diese kann zu einer Basis von W ergänzt werden, also w1,w2,...,wr,y1,...,yj Basis von W.



Sei x1,x2,...xs eine Basis von ker(f).

Diese kann zu einer Basis von V ergänzt werden. Die Anzahl der ergänzten Vektoren v1, ..., vr ist r, nämlich gleich dim(Im(f)).



Durch die Zuordnung der Basisvektoren v1,...,vr auf die Bildvektoren w1,...,wr ist f schon eindeutig bestimmt.

Die Abbildungsmatrix A hat die geforderte Form.



Gruß

Matroid



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-01-09


Vorhin habe ich den formelmäßigen Beweis geliefert. Das möchte ich nun noch mal anders formulieren, damit man auch erkennen kann, was im Beweis vorgeht, worauf es ankommt. Es ist im Grunde ganz einfach ...
-----

Wir wissen, daß durch die der Basisvektoren auf Linearkombinationen einer Basis von W die Abbildung f : V -> W eindeutig bestimmt ist.
Durch diese eindeutigen Linearkombinationen sind dim(V)*dim(W) Koeffizienten der Basisvektoren von W bestimmt,
denn es ist (allgemein)
f(vi) = a1i*wi + ... + ami*wm
Für i=1,2,...,n
[mit m := dim(W) und n:=dim(V)]

Die nxm Matrix aus den aij ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung.
Sie hängt offensichtlich von den gewählten Basen von V und W ab und man findet sie durch Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Durch geschickte Wahl der Basen wird das Gleichungssystem besonders einfach.
Wenn nämlich [v1 , v2, ... , vn] eine Basis von V ist, dann betrachte
   [f(v1) , f(v2), ... , f(vn)]
also die Bilder der Basisvektoren. Diese n Vektoren erzeugen das Bild von V (unter f).
Sie sind nicht notwendig linear unabhängig, aber man kann daraus eine maximale linear unabhängig Teilmenge auswählen, von der Im(f) auch schon erzeugt wird.

O.b.d.A kann man bereits die vi so anordnen, daß genau die Bilder der ersten r Basisvektoren linear unabhängig in W sind. Also:
   [v1 , ... , vr] linear unabhängig in V.
   [f(v1) , ... , f(vr)] linear unabhängig in W.
Diese beiden (geordneten) Tupel von linear unabhängigen Vektoren kann man in V bzw. in W zu einer Basis ergänzen (durch so viele andere Vektoren wie eben nötig). Also
   [v1 , ... , vr,xr+1,...,xn] ist Basis von V.
   [f(v1) , ... , f(vr),yr+1,...,ym] ist Basis von W.

Wenn man nun die lineare Abbildung bzgl. dieser beiden Basen ausdrückt, dann gilt:
   f(vi) = a1i*f(v1) + ... + ari*f(vr) + ar+1i*yr+1 + ... ami*ym
  für 0 <= i <= r
und
   f(xi) = a1i*f(vi) + ... + ari*f(vr) + ar+1i*yr+1 + ... ami*ym
  für r < i <= m

Die Gleichungen für 0 <= i <= r sind eindeutig lösbar, denn auf der rechten Seite stehen nur linear unabhängige Vektoren. Die Lösung ist leicht zu sehen, es ist
   aji = 0 für j ungleich i
und
   aji = 1 für j gleich i


Die Gleichungen für r < i <= m haben nur Lösung:
   aji = 0
denn weil die xi nicht in Im(f) sind, muß ja f(xi) = 0 sein. Und rechts steht eine Linearkombination von Basisvektoren. Damit ist der Nullvektor aber nur in trivialer Weise darstellbar, d.h. alle Koeffizienten sind gleich 0.


Gruß
Matroid



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Anonymous
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-10


Super!

Vielen Dank, Uli



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