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 Kommutativgesetz Matrizen |
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gin_tonic
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.04.2005
Mitteilungen: 36
 |  Themenstart: 2005-04-25
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hallo,
gegeben sind eine übergangsmatrix A, welche die käuferverteilung vom 1. zum 2. kauf angibt, und eine übergangsmatrix B, welche die verteilung der kunden vom 2. zum 3. kauf angibt. nun soll eine matrix C bestimmt werden, welche das käuferverhalten vom 1. zum 3. kauf beschreibt. in allen (ähnlichen) aufgaben wird C=B*A gerechnet, aber nicht C=A*B. für die matrizenmultiplikation gilt ja bekanntlich nicht das kommutativgesetz. aber wieso wird immer B(vom 2. zum 3.)*A(vom 1. zum 2.)=C(vom 1. zum 3.) gerechnet, und nicht so, wie mans naturgemäß machen würde?
gruß tonic
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murmelbaerchen
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2005-04-25
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Hallo tonic,
Matrizen sind ja Vertreter für lineare Abbildungen. Jetzt nimm Dir einen Vektor (in Deinem Beispiel die Startverteilung) und multiplizier ihn an die 1. Matrix. Also y=A*x. Jetzt wird er durch die zweite Matrix B abgebildet. Also z=B*y
Aber insgesamt können wir doch für y wieder A*x schreiben.
z=B*y=B*A*x
Das ist ähnlich wie bei der Verkettung von Funktion f(g(x))= f o g (x)
Ich hoffe das hilft Dir
Viele Grüsse
Murmelbärchen
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huepfer
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2005-04-25
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Hallo gin_tonic,
das liegt an der Hintereinanderausführung von Abbildungen. Matrizen kannst Du ja immer mit Abbildungen identifizieren und da sieht es auch so aus:
V bigop(->,,,f)W bigop(->,,,g)U
Das schreibt man auch g°f (sprich: g nach f)
Jetzt soll f den Übergang vom ersten zum zweiten Kauf darstellen (identifiziert mit A) und g den Übergang vom zweiten zum dritten Kauf (identifiziert mit B) darstellen.
Daher entsteht C=B*A
Hilft Dir das so weiter? Wenn nicht, frag einfach nochmal nach.
Gruß
Felix
[ Nachricht wurde editiert von fed am 25.04.2005 12:08:27 ]
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gin_tonic
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|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-25
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sorry, affine abbildungen haben wir nicht besprochen. @murmelbaerchen:
wieso schreibst du intuitiv z=B*y? man könnte doch genauso gut z=y*B schreiben, dann sähe die sache wieder anders aus und der beweis wäre umgekehrt erfolgt ;)...man weiß doch nicht über die spalten/-zeilenanzahl. irre ich?
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murmelbaerchen
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| Beitrag No.4, eingetragen 2005-04-25
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Hallo Wacholderschnaps, 
also Deine Frage ist berechtigt, ich versuche sie Dir zu erklären.
bei A bleibend: 80%
A->B:10%
A->C:10%
B->A:40%
bei B bleibend: 20%
B->C:40%
C->A:20%
C->B:10%
bei C bleibend: 70%
M=(0.8,0.4,0.2;0.1,0.2,0.1;0.1,0.4,0.7) sei Übergangsmatrix
Jetzt sei x unsere Startverteilung mit jeweils 1000 Kunden
x=(1000;1000;1000)
Wie bekommt man jetzt die Anzahl der Kunden, die nach einer Zeitperiode
bei A sind. Durch Multiplikation von rechts oder von links?
Antwort:
A*x = (1400;400;1200)
Viele Grüsse
Murmelbärchen
P.S. Weder ich noch Felix haben etwas von affinen Abbildungen gesagt.
[ Nachricht wurde editiert von murmelbaerchen am 25.04.2005 12:42:17 ]
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murmelbaerchen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2005-04-25
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Hallo gin,
aber das hängt natürlich auch von der Definition Eurer Übergangsmatrix ab. Wenn ihr die relativen Übergänge zeilenweise definiert, muss man die Startverteilung natürlich von links dranmultiplizieren... Insofern kann ich das Durcheinander verstehen. Magst Du die Definition der Übergangsmatrix mal aufschreiben?
Viele Grüsse
Markovbärchen
[ Nachricht wurde editiert von murmelbaerchen am 25.04.2005 12:46:45 ]
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gin_tonic
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-25
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ach so, okay *falsch interpretier*...und was, wenn ich deinen 3x1-vektor einfach transponiere zu einem 1x3 vektor und dann mit der 3x3-matrix von links multipliziere? müsste doch auch ne 1x3er-matric rauskommen.
hoffe auf weitere spielbälle des mathematischen dialogs ;)
nicht nur wacholder....kommt immer auf den gin an ;).
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murmelbaerchen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2005-04-25
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2005-04-25 12:47: gin_tonic schreibt:
ach so, okay *falsch interpretier*...und was, wenn ich deinen 3x1-vektor einfach transponiere zu einem 1x3 vektor und dann mit der 3x3-matrix von links multipliziere? müsste doch auch ne 1x3er-matric rauskommen.
Völlig richtig!
Vorausgesetzt Du meinst (1000,1000,100)*A. Der Satz könnte sonst missverstanden werden, dass Du die Matrix von links multiplizierst.
Viele Grüsse
Murmelbärchen
[ Nachricht wurde editiert von murmelbaerchen am 25.04.2005 12:49:38 ]
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gin_tonic
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-25
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2005-04-25 12:48: murmelbaerchen schreibt:
2005-04-25 12:47: gin_tonic schreibt:
ach so, okay *falsch interpretier*...und was, wenn ich deinen 3x1-vektor einfach transponiere zu einem 1x3 vektor und dann mit der 3x3-matrix von links multipliziere? müsste doch auch ne 1x3er-matric rauskommen.
Völlig richtig! :-p
Viele Grüsse
Murmelbärchen
danke, aber wo bleibt dann der beweis? :-D hab derweil mal versucht, mir das ganze praktisch pragmatisch herzuleiten. aber wenn ichs nicht hinkriege, auch erstmal egal, wende ichs halt in der klausur so an. ;-)
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murmelbaerchen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2005-04-25
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2005-04-25 12:50: gin_tonic schreibt:
danke, aber wo bleibt dann der beweis?
Hallo gin,
was meist Du genau mit Beweis.
Viele Grüsse
Murmelbärchen
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murmelbaerchen
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| Beitrag No.10, eingetragen 2005-04-25
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Hallo,
oder meinst Du, warum man das nicht dann transponieren und andersrum multiplizieren kann? Dann bilde doch einfach mal das Produkt von
x transponiert und M von meinem Beispiel oben. Ich fürchte es kommt wieder x transponiert raus...
Viele Grüsse
Murmelbärchen
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gin_tonic
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-25
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jo, also in meinem konkreten fall gehts um zwei 3x3 matrizen, also müsste man eigentlich gar nichts transponieren...
ach so, noch was: dass ich immer etwas an euren mühevollen beweisen rumzumeckern hab, heißt nicht, dass ich eure tollen bemühungen nicht zu würdigen wüsste! 
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murmelbaerchen
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| Beitrag No.12, eingetragen 2005-04-25
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2005-04-25 12:58: gin_tonic schreibt:
jo, also in meinem konkreten fall gehts um zwei 3x3 matrizen, also müsste man eigentlich gar nichts transponieren...
ach so, noch was: dass ich immer etwas an euren mühevollen beweisen rumzumeckern hab, heißt nicht, dass ich eure tollen bemühungen nicht zu würdigen wüsste!
Hallo Gin,
also ein Beweis war das garnicht und mühevoll auch nicht
Ist denn jetzt alles klar, denn ich sehe nun nicht mehr, ob noch eine Frage offen ist. Falls ja, dann stell sie ruhig, falls nein, dann setze doch bitte das Häkchen.
Viele Grüsse
Murmelbärchen
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gin_tonic
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-26
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also, ich habs mir jetzt überlegt warum. es sollte klar sein, danke. meine herleitung fußt einfach darauf, dass übergangsmatrizen in aller regel stochastisch sind (also z.b., wie die wähler von partei a zu partei b wechseln). nehmen wir als anfangsmatrix (1. zum 2. mal) einfach eine 3x3-matrix an. diese wird dann mit dem anfangsvektor v (also bei den wählern wäre das halt die absolute wählerverteilung am anfang, eine 3x1) und man erhält eine 3x1-matrix. diese kann man aber mit B (3x3, vom 2. zum 3. mal) nicht von links, sondern nur von rechts multiplizieren. also erhalten wir für die matrix C(vom 1. zum 3. mal):
C=B*A*v (C=AvB ginge ja nicht, s.o.)wenn wir v weglassen, erhalten wir eine übergangsmatrix, die erstmal unabhägig vom anfangsbestand, ausgedrückt durch v, ist, also hier z.b. eine 3x3...richtig?
bei so rohstoffverflechtungen habe ich ja oft keine quadratischen matrizen. dort müsste ich dann von fall zu fall entscheiden (notfalls transponieren), also könnte entweder C=AB oder C=BA herauskommen. richtig?
thx
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