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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Direkte Summe
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Kein bestimmter Bereich Direkte Summe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-02-02


Kann mir hier jemand mal helfen? Es wäre gut auch erst einmal einen allgemeinen Überblick über die direkte Summe zu geben und wie man sie dann schließlich auch anwendet.

Sei phi ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V mit der Eigenschaft phi verknüpft mit φ = idV. Sei 1 ungleich -1 in K und sei V+ =[v ∈ V| φ(v)=v} und sei V- ={v ∈ V| φ(v) =-v}. Zeigen Sie: V+ und V- sind K-Untervektorräume von V und es gilt V= V+ ⊕ V- .



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-02-02


Die Summe von 2 Untervektorräumen ist definiert als Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus den beiden Untervektorräumen darstellen kann. Die direkte Summe ist definiert als die Summe von Untervektorräumen, die nur den Nullvektor gemeinsam haben. In einer direkten Summe ist jeder Vektor eindeutig als Linearkombination von (Basis)-Vektoren der beiden Untervektorräume darstellbar.

Für V- und V+ mußt Du die Unterraumeigenschaft nachweisen.
Und wenn Du dann noch zeigst, daß
a) V+ ∩ V- = { 0 }
und
b) jedes v ∈ V ist als Linearkombination von Vektoren aus V+ und V- darstellbar.
bist Du fertig.

Daß der Durchschnitt nur die 0 enthält, sieht man so:
Für ein v∈ V+ ∩ V- gilt:
   φ(v) = v
und
   φ(v) = -v
Folglich ist v=0.

Zeige nun, daß jedes v ∈ V in V+ ∩ V- ist.
Das ist etwas schwierig und gelingt mit einem Trick.

Sei V+* = { 1/2*(φ(v)+v) | v ∈ V }

Es ist V+* = V+ !

Wenn nämlich v ∈ V+, dann ist v auch in V+*.
Und wenn v ∈ V+*, dann gibt es ein u ∈ V mit v = 1/2*(φ(u)+u)
weil φ2=id ist aber auch φ(v) = φ(1/2*(φ(u)+u)) = 1/2*(u+φ(u)),
und man sieht, daß v = φ(v) ist. Also ist V+* = V+.
Analog zeigt man, daß V-* = { 1/2*(φ(v)-v) | v /isin; V } = V-.

Diese beiden alternativen Charakterisierungen von V+ und V- sind besser geeignet.

So, nun will ich zeigen, daß jedes veV in V+ ∩ V- ist.

Sei v /isin; V, dann ist v = 1/2*(&phi:(v)+v) - 1/2(φ(v)-v) und
 1/2*(φ(v)+v) ist in V+ und 1/2(φ(v)-v) ist in V-.
Das zeigt, daß jedes veV als Linearkombination von Vektoren aus V+ und V- darstellbar ist.


Nun noch mal eine Zusammenfassung.
Was wurde gezeigt?
a. Der Durchschnitt von V+ und V- ist leer.
b. Die Vereinigung von V+ und V- ist V.

Ergo: V ist die direkte Summe von V+ und V-

Gruß
Matroid



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