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  Differenzierbarkeit |
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cassiopaia
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 469
 |  Themenstart: 2002-12-29
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Kann mir einer sagen wie ich die Punkte bestimmen kann?
Und wie sieht die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen bzw. Beträgen aus?
Gruss
Cassiopaia
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Siah
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Dabei seit: 19.05.2002
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-29
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Hi Cassiopaia,
bei a) kannst du den ursprünglichen Funktionsterm mithilfe der e-Funktion umschreiben, dann die Ableitungsfunktion bestimmen, und dann den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion. Damit hast du alle Punkte, in denen f differenzierbar ist.
b) das gleiche, aber erst die Funktion "betragsfrei" schreiben, d.h. eine Fallunterscheidung machen, und die Funktion zusammengesetzt schreiben.
c) da weiss ich leider nicht, was das mit dem n=1,2 heissen soll.
d) wie man leicht einsieht, ist f in keinem punkt stetig, was eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist. Also ist sie auch in keinem Punkt diff'bar.
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cassiopaia
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-29
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Erstmal Danke für deine Hilfe
zu a+b) Hab ich keine Ahnung wie ich deine Vorschläge umzusetzen habe
Kannst du mir das vielleicht demonstrieren?
zu c) Das ist wohl so gemeint das du Stetigkeit nur für ein eingeschränktes n untersuchen sollst.
Also zuerst prüfst du ob die Teilfsktoren stetig sind, offedntsichtlich ja, dann überprüfst du die Stetigkeit in x0 = 0 für n=1,2 und schaust ob die einseitigen Grenzwerte übereinstimmen. Meinern Meinung nach ist dies erfüllt.
Weiter weiß ich aber jetzt auch nicht.
zu d) Wie sieht man das so leicht ein?
Gruß
Cassiopaia
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Siah
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-29
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Hi Cassiopaia,
a) f(x)=x^x , das kann man folgendermaßen umschreiben:
x^x = e^ln(x^x) = e^(x*ln(x)) , so und das kann man gut ableiten.
b) Fall 1) x³0 :
f(x)= (e^x² - 1)/ (1+x)
Fall 2) x<0:
f(x)=(e^x² - 1)/ (1-x)
so, dann kannst du die Funktion also als zusammengesetzte Funktion angeben, und beide Terme ableiten, und dann jeweils die Definitionsmengen betrachten.
d) naja, hast du schonmal versucht den Funktionsgraphen zu zeichnen? Eine zugegebenermaßen unmathematische Beschreibung von Stetigkeit geht ungefähr so: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne den Stift abzusetzen in einem "Rutsch" durchzeichnen kann. Das ist wohl schwierig hier in dem Fall.
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cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-29
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zu a+b) Habe das Prinzip jetzt verstanden.
Nur was mich verwirrt ist die Aufgabenstellung:
Die besagt ich soll zuerst die Punkte bestimmen für die die Funktion differnzierbar ist und dann ggf ableiten.
Du sagst mir aber ich könnte das auch nach dem ableiten tun.
Was habe ich da mißverstanden?
zu c) Wie muss ich denn jetzt da vorgehen nachdem ich festgestellt habe das die notwendige Bdeingung erfüllt ist?
zu d) Nein, ich habe es noch nicht versucht zu zeichnen.Mich würde interessieren wie man das der Funktion ansich ansieht das sie nicht stetig ist.
Und was mich daran irritiert ist die Tatsache das ich im Gegensatz zu anderen Beispielen wo ich die Stetigkeit untersuchen sollte, kein spezifisches x0 gegeben habe, sondern nur x^4 in Q und -x^4 in IR\Q.
woran sehe ich jetzt genau das hier keine Stetigkeit vorliegt mal abgesehen von einer Zeichnung?
Gruß
Cassiopaia
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Zahlenteufel
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2002-12-29
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Hi,
c) du musst nun überprüfen, ob die Grenzwerte, lim x->0+ f'(x) und lim x->0- f'(x) und lim x->0 f'(x) existieren und übereinstimmen.
d) Funktionen dieser Art sind nicht stetig, da der Graph immer "herumspringt", da es in jeder Umgebung einer rationalen Zahl ein reele Zahl gibt. Daraus folgt, dass der Grenzwert für eine Stelle a nicht existiert. Die Funktion ist somit nicht stetig.
Gruß
Zahlenteufel
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Siah
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| Beitrag No.6, eingetragen 2002-12-29
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Hi Cassiopaia,
du hast nichts falsch verstanden, es ist halt sehr umständlich für alle unendlich vielen Punkte einer Funktion die Diff'barkeit nachzuweisen, und dann noch die Ableitung in all diesen Punkten zu bestimmen. Besser ist diejenigen Punkte rauszunehmen, an denen die Funktion nicht diff'bar ist.
Falls dir das mit der Stetigkeit in d) noch nicht reicht, dann prüfe die e-d-Definition der Stetigkeit nach.
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cassiopaia
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-30
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Dann bin ich ja beruhigt!
Hab also nun mal ausprobiert abzuleiten.Dabei ergaben sich folgende Schwierigkeiten:
bei a) wie leitet man so einen Ausdruck ab?
bei b) z.b 2.Fall: Hab ich versucht mit der Qutotientenregel abzuleiten
Dabei kam heraus: [(2x*e^x² - 1)*(1-x) - (e^x²-1)*(-1)] / (1-x)²
Kann man dioes jetzt noch vereinfachen? Oder habe ich was falsch gemacht?
@Zahlenteufel
lim x->0+ f'(x) und lim x->0- f'(x) stimmen doch laut Definition schon überein oder nicht (für x ¹ 0!!!)?
Dazu aber auch noch eine Frage zur Ableitung:
Wie leite ich x^n * sin*1/x ab?
Gruß
Cassiopaia
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Siah
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| Beitrag No.8, eingetragen 2002-12-30
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Hi Cassiopaia,
wo gibts denn die Probleme beim Ableiten von f(x)= e^(x*ln(x))?
Erst Kettenregel, dann Produktregel.
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Anonymous
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| Beitrag No.9, eingetragen 2002-12-30
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cassiopaia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2002
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-30
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zu a) Nach Anwendung der Kettenregel und der Produktregel erhalte ich:
1/x * e^ln(x) * e^1/x + e^ln(x) * (- 1/x²)*e^1/x
Richtig oder falsch?
Für welche Punkte ist es dann differenzierbar?
zu b) 1.Fall Differenzierbar für alle x aus IR \{-1}
2.Fall " " IR \ {1}
Richtig oder falsch?
zu c) Habe keine Ahnung wie ich den Ausdruck ableiten soll.
Kann mir da jemand helfen?
Gruss
Cassiopaia
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Martin_Infinite
Senior
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 |  Beitrag No.11, eingetragen 2002-12-30
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zu a)
(xx)' = (eln(x^x))' =
(ex*ln(x))'
Also (f(g(x)))' mit
f(x) = ex
f'(x) = f(x)
g(x) = x*ln(x)
g'(x) = 1*ln(x) + x*1/x = ln(x) + 1 (nach Produktregel!)
Kettenregel:
(f(g(x)))' = g'(x) * f'(g(x)), dann muss man nur noch einsetzen:
(f(g(x)))' = (ln(x)+1)*ex*ln(x) =
(ln(x)+1)*xx
Fertig!
Und weil 00 nicht definiert ist, ist xx
für R \ {0} differenzierbar!
Achso, außerdem ist ln(x) sowieso nur für R+ definiert, also kann man nur noch in R+ differenzieren.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2002-12-30 16:05 ]
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insane
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 | Beitrag No.12, eingetragen 2002-12-30
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c)
produktregel:
h(x) = x^n*sin(1/x) = f(x) *g(x) mit f(x) = x^n , g(x) = sin(1/x)
h`(x) =f`(x)*g(x) + f(x)*g`(x)
= x^n-2 *(n*x*sin(1/x) - cos(1/x) )
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Martin_Infinite
Senior
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Wohnort: Münster
|  Beitrag No.13, eingetragen 2002-12-30
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zu b)
Wie schon Siah gesagt hat, gibt es 2 Fälle:
1. Fall: x < 0
f(x) = (ex²)/(-x+1)
Quotientenregel: (u/v)' = (u'v-uv')/(v²)
f'(x) = ((2xex²)(1-x)-(ex²)(-1))/(1-x)² =
(ex²(2x-2x^2+1)-1)/(1-x)²
Hier ist die Funktion nicht definiert, wenn (1-x)² Null wird. Die Nullstelle
ist aber 1 > 0, aber das war ja der Fall mit x < 0, deswegen ist schon
mal ganz R- differenzierbar.
Der 2. Fall also x >= 0 läuft auf
f'(x) = (ex²(2x²+2x-1)+1)/(x+1)² hinaus.
Der Nenner wird Null für x = -1, was aber ausgeschlossen wegen der
Vorraussetzung x >= 0 ist.
Daraus folgt, dass ganz R differenzierbar ist.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2002-12-30 16:36 ]
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