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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Skalarprodukt - Beweis
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Universität/Hochschule J Skalarprodukt - Beweis
Verony
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  Themenstart: 2003-01-25

GUTEN ABEND... !! habe mal wieder eine schäbige Aufgabe... Seien a1,....,an aus IC. Man zeige: Die Abbildung < , >: IC^n x IC^n --> IC, ((x1,...,xn),(y1,...,yn)) |--> a1x1y1+...+anxnyn ist genau dann ein Skalarprodukt auf IC^n, wenn a1,...,an positive reelle Zahlen sind. !!!!!!! x1, bzw. xn fett ... heißt konjugiert !!!!!!! ich danke euch sehr eure Verony [ Nachricht wurde editiert von Verony am 2003-01-25 18:47 ]


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Fabi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-01-25

Hi! Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite, hermitesche (Semi-)Bilinearform. Bilinearform ist deine Abbildung (im Beweis musst du das aber noch zeigen). Erste Richtung: alle ai als positiv reell vorausgesetzt Nun zur hermiteschen Form: Zu zeigen: < v,w > =  < w,v > konjugiert Das folgt einfach: < (x1,...xn); (y1,...yn) >  = a1x1y1+...   < (y1,...yn); (x1...xn) > = a1x1y1+... Sei x1 = c+di, y1 = e+fi Dann ist x1y1 = (c-di)(e+fi) = ce+df + i(fc-de) und x1*y1  = (c+di)(e-fi) = ce+df + i(de-fc) ist das konjugiert-komplexe dazu. Da a1 reell ist, ändert sich das durch Multiplikation mit a1 nicht, und da (a+b) = a  +  b ist und man obigen Rechengang für alle 1 bis n (statt der 1) durchführen kann, folgt daraus, dass < v,w > = < w,v >  Also ist deine Abbildung eine hermitesche Form. Nun zur positiven Definitheit: Aus der hermiteschen Form folgt, dass < v,v > reell ist. Da < (x1,...xn); (x1,...xn) > = å(k=1, n)akxkxk = å ak|xk|²  ist, ist, wenn mindestens ein xk ¹ 0 ist, der Wert des Skalarprodukts positiv, da alle a und  |xk|² positiv, damit das Produkt positiv und die Summe von Summanden ³ 0, von denen einer > 0 ist, ist. Also wird durch die Vorschrift ein Skalaprodukt erklärt, wenn alle a reelle positive Zahlen sind. Nun die Rückrichtung: Sei < ; > ein Skalarprodukt Sei ai = a+bi keine reelle Zahl, d.h. b ¹ 0 Nun sei v der Vektor, der nur aus 0en und einer 1 an der i-ten Stelle besteht. Dann ist < v;v > = (a+bi)*1*1 = a+bi, und da das nicht reell ist, ist < ; > dann keine hermitesche Form und damit auch kein Skalarprodukt -> alle ai sind reell Nun angenommen, ai < 0 Ich wähle wieder denselben Vektor v und bilde < v;v > = ai*1*1 < 0, da ai < 0 ist. Also ist < ; > nicht positiv definit und damit kein Skalarprodukt -> ai > 0 für alle i   q.e.d. Gruß Fabi [ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2003-01-25 20:31 ] [ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2003-01-26 20:16 ]


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matroid
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  Beitrag No.2, eingetragen 2003-01-26

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