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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Skalarprodukt
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Universität/Hochschule J Skalarprodukt
MarkOh
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  Themenstart: 2003-04-07

Tach Tach. Folgendet Problem: Wie kann ich mittels der Eigenschaften von Skalarprodukten beweisen, dass folgende Funktion Skalarprodukte in R³ sind? j(x,y)=4x1y1 + 3x2y2 + x3y3 + 2x1y2 + 2y1x2 – x2y3 – y2x3 Es fäält mir etwas schwer die 4 Axiome nachzuweisen.


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Fabi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-07

Hi! Um mir Indizes zu sparen, schreib ich jetzt erstmal um: v = (a,b,c), w = (x,y,z) sind Vektoren des R³. j(v,w) = 4ax+3by+cz+2ay+2bx-bz-cy Jetzt musst du zeigen, dass gilt: 1. Symmetrie: j(v,w) = j(w,v) (einfach beides ausrechnen und schauen, ob das gilt) 2. Bilinearität: j(v,w)+j(v,w') = j(v,w+w') und j(w,v)+j(w',v) = j(w+w',v) j(kv,w) = k*j(v,w)   j(v,kw) = k*j(v,w) (Wähle einfach allgemein drei Vektoren und rechne es nach) 3. positive Definitheit: j(v,v) > 0 für v ¹ 0 Kann man auch einfach ausrechnen. Wo genau liegt denn das Problem? Gruß Fabi


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Docker1
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  Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-08

Hallo wie kann man die positive Definiertheit an dem Beispiel überprüfen. Hab die selbe Aufgabe komm aber leider nicht weiter... Für Symmetrie und Bilinearität bin ich auf ein positives Ergebnis gestoßen.


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viertel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-08

positive Definitheit (nicht Definiertheit) Bleiben wir bei Fabi's Notation j(v,v)=4a^2+3b^2+c^2+2ab+2ba-bc-cb =4a^2+4ab+b^2+b^2+b^2-2bc-c^2 =(2a+b)^2+b^2+(b-c)^2 Der Witz ist die geschickte Aufteilung. Die Summe der 3 Quadrate ist zweifelsohne >0 wenn v¹0 Diese Skalarproduktrechnerei ist zugegebenermaßen ein Haufen Schreibarbeit, aber mit ein bißchen Konzentration geht es geradeaus durch. Wie Fabi schon fragte: Wo liegt das Problem? Die Definition aufschreiben, durchrechnen und fertig. Gute Nacht   Dietmar das 1/4


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