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Integration » Lebesgue-Integral » Lebesgue-Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger
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Universität/Hochschule J Lebesgue-Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger
Charlie
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Mitteilungen: 79
  Themenstart: 2006-08-03

Hallo, Eine Funktion f: \IR^n -> \IR\union\ +-\inf heißt Lebesgue-integrierbar, falls -\inf < int(f(x),x,o,)=int(f(x),x,,o)<\inf. Dabei bezeichne int(f(x),x,o,) das Unterintegral mit: int(f(x),x,o,):=sup\{ int(\psi(x),x,,) :\psi\in H\textdownarrow(\IR^n), \psi <=f\} Analog, Oberintegral. Dabei ist H\textdownarrow (\IR^n) die Menge aller Funktionen f:\IR^n -> \IR \union\ \{-\inf \}, zu denen es eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen f_\nue, \nue \in \IN mit kompaktem Träger gibt mit: lim(\nue->\infty,f_\nue (x))=f(x) für alle x \in \IR. Damit haben wir das Integral dieser halbstetigen Funktionen definiert als: int(f(x),x,,):=lim(\nue->\inyty,int(f_\nue (x),x,,)). Soviel zur Herangehensweise an die Integrationstheorie. Nun meine Frage: Wieso ist jede stetige Funktion f:\IR^n -> \IR mit kompaktem Träger, denn Lebesgue-integrierbar? Ich sehe das nicht... Gruß, Charlie


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Mentat
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  Beitrag No.1, eingetragen 2006-08-03

Hallo Charlie, jede stetige Funktion mit kompaktem Träger ist sogar Riemann-integrierbar. Und jede Riemann integrierbare Funktion ist lebesgue integrierbar. (Versuch doch deine Folgen als konstant zu konstruieren.) MfG Mentat


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