Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-stetig
Autor
Universität/Hochschule Lipschitz-stetig
blindfisch
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.04.2005
Mitteilungen: 207
Wohnort: München
  Themenstart: 2006-09-02

\ Hallo liebes Forum! Die Frage wurde bestimmt schon öfter gestellt, aber ich habe sie mit der Suche nicht finden können: f(x) = x * sin(1/x) für x!=0 f(0) = 0 g(x) = x^2 * sin(1/x) für x!=0 g(0) = 0 Sind f und g auf [-1,1] lipschitz stetig? Wie beweist man das bzw. widerlegt es? Vielen Dank MfG vom fisch [ Nachricht wurde editiert von blindfisch am 02.09.2006 22:53:15 ]


   Profil
ygramul
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.08.2006
Mitteilungen: 46
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2006-09-02

Hallo, auf die schnelle hab ich nur was für die erste Funktion gefunden: Lipschitzstetigkeit für f(x)=x*sin(1/x) für x!=0 f(0)=0 auf [-1,1] heißt ja: \forall\ x_1\,x_2\el\ [-1,1]: abs(f(x_1)-f(x_2))<=L*abs(x_1-x_2) O.E.d.A. sei x_1!=x_2, dann kann man abs(x_1-x_2) nach links bringen: abs(f(x_1)-f(x_2))/abs(x_1-x_2)<=L Im Grenzfall x_2->x_1 gilt: lim(x_2->x_1,abs(f(x_1)-f(x_2))/abs(x_1-x_2))=lim(x_2->x_1,abs((f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2))=f'(x_1) Es muss also für alle x\el\ [-1,1] die f'(x) beschränkt sein. Für \(0,1] ist f diffbar mit: f'(x)=(x*sin(1/x))'=sin(1/x)+x*cos(1/x)*(-1/x^2)=sin(1/x)-1/x*cos(1/x) =1/x*(x*sin(1/x)-cos(1/x)) Betrache nun x_n=1/((2n+1)\pi) (n\el\ \IN). Dann ist sin(x_n)=0, cos(x_n)=-1. Damit: f'(x_n)=1/x_n \forall\ n\el\ \IN ist x_n\el\ \(0,1] und f'(x_n)=1/x_n->\inf  für n->\inf. Damit ist die Funktion f nicht lipschitzstetig. Falls Fehler oder Unklarheiten in der Argumentation sind, gib Bescheid.


   Profil
blindfisch
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.04.2005
Mitteilungen: 207
Wohnort: München
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03

Nein, alles klar. Danke Dir. Hat jemand ein Beispiel für eine Funktion, die auf einem Kompaktum diff'bar ist, Ableitung beschränkt und dennoch nicht lipschitz-stetig? MfG fisch


   Profil
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6286
Wohnort: Wien
  Beitrag No.3, eingetragen 2006-09-03

Das kann nicht gehen, weil man die Schranke der Ableitung als Lipschitz-Konstante nehmen kann. Gruß, Radix


   Profil
blindfisch
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.04.2005
Mitteilungen: 207
Wohnort: München
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03

Mh, dann ist die Beschränktheit der Ableitung ein hinreichendes Kriterium für die Lipschitzstetigkeit einer Funktion? [ Nachricht wurde editiert von blindfisch am 03.09.2006 20:35:20 ]


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46423
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.5, eingetragen 2006-09-03

Hi fisch, nein, das geht nicht. Wenn die Ableitung durch L beschränkt ist, dann liegt Lipschitzstetigkeit mit der Konstanten L vor, so einfach ist das. Antwort auf deinen vorigen Post (03.09.06, 20:34): Ja! Gruß Buri, der froh ist, nicht auf ε-δ-Details eingehen zu müssen ... ... außerdem war ich nicht schnell genug. [ Nachricht wurde editiert von Buri am 03.09.2006 20:39:43 ]


   Profil
blindfisch
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.04.2005
Mitteilungen: 207
Wohnort: München
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03

Mh, wie beweist man das?


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46423
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.7, eingetragen 2006-09-03

Hi fisch, mit dem Schrankensatz, das ist die Fassung des Mittelwertsatzes, wenn man ihn als Ungleichung und nicht als Gleichung (mit Zwischenstelle) schreibt. Der Begriff "Schrankensatz" scheint mittlerweile etabliert zu sein, du kannst im Netz danach suchen. Gruß Buri


   Profil
blindfisch
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.04.2005
Mitteilungen: 207
Wohnort: München
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03

In einer Dimension gehts aber auch mit Mittelwertsatz, oder?


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46423
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.9, eingetragen 2006-09-03

Hi fisch, ja, du hast es genau getroffen! Fast hätte ich es noch dazugesagt. Gruß Buri


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9348
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.10, eingetragen 2006-09-03

"Wenn die Ableitung durch L beschränkt ist, dann liegt Lipschitzstetigkeit mit der Konstanten L vor, so einfach ist das. " \ Leider stimmt das nicht allgemein, sondern nur auf Intervallen. f(x)=fdef(0,0<=x<=1;1,2<=x<=3) hat Ableitung 0 und Lipschitzkonstante 1 Wally


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46423
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.11, eingetragen 2006-09-03

Hi Wally, oh, du hast natürlich vollkommen recht! Also muß man nicht von Funktionen, die auf einem Kompaktum definiert sind, sprechen, sondern dieses Kompaktum muß außerdem konvex sein, im Eindimensionalen muß es sich also um ein Intervall handeln. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 03.09.2006 21:37:40 ]


   Profil
garfieldxxs
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2006
Mitteilungen: 193
  Beitrag No.12, eingetragen 2006-09-04

... und wie ist das ganze andersrum? Ich habe gelesen, dass aus Lipschitz stetig folgt, dass die Funktion "fast überall" stetig differenzierbar ist. Auf was bezieht sich das "fast"? Heißt das... 1. dass sie überall differenzierbar ist, und nur an endlich vielen Stellen die Ableitung nicht stetig ist aber dennoch existiert...  oder 2. dass sie grundsätlich stetig differenzierbar ist, aber an endlich vielen Stellen garnicht differenzierbar? Falls es so wie in 1. gemeint ist - dann kann ich also aus Lipschitz stetig differenzierbar folgern? viele Grüße, Garfield [ Nachricht wurde editiert von garfieldxxs am 04.09.2006 07:37:24 ]


   Profil
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6286
Wohnort: Wien
  Beitrag No.13, eingetragen 2006-09-04

Dass aus Lipschitz-stetig nicht differenzierbar folgt, demonstriert dir die Betragsfunktion. Gruß, Radix


   Profil
garfieldxxs
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2006
Mitteilungen: 193
  Beitrag No.14, eingetragen 2006-09-04

oh... ok. Danke!


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46423
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.15, eingetragen 2006-09-04

2006-09-04 07:36: garfieldxxs schreibt: ... Auf was bezieht sich das "fast"? Heißt das... 1. dass sie überall differenzierbar ist, ...  oder 2. dass sie grundsätlich stetig differenzierbar ist, aber an endlich vielen Stellen garnicht differenzierbar? Hi garfiedxxs, nein, beides nicht. Aber 2. kommt der Sache schon näher. Die Menge der Nicht-Differenzierbarkeitsstellen ist eine Lebesguesche Nullmenge, das ist mit "fast überall differenzierbar" gemeint. Solche Nullmengen können auch unendliche und sogar überabzählbare Mengen sein. Gruß Buri


   Profil
garfieldxxs
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2006
Mitteilungen: 193
  Beitrag No.16, eingetragen 2006-09-04

Ok, super - Danke!!


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 120
  Beitrag No.17, eingetragen 2020-02-22

\ Hallo, tut mir leid, wenn ich den Beitrag "herauskrame" aber kann mir jemand erklären, warum sin(x_n) = 0 und cos(x_n) = 1 sowie f'(x_n) = 1/x_n gelten muss? Zitat aus der Antwort von ygramul: Betrache nun x_n=1/((2n+1)\pi) (n\el\ \IN). Dann ist sin(x_n)=0, cos(x_n)=-1. Damit: f'(x_n)=1/x_n \forall\ n\el\ \IN ist x_n\el\ \(0,1] und f'(x_n)=1/x_n->\inf für n->\inf. Damit ist die Funktion f nicht lipschitzstetig. Falls Fehler oder Unklarheiten in der Argumentation sind, gib Bescheid. \quoteoff Vielen Dank vorab!


   Profil
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11289
Wohnort: Sankt Augustin NRW
  Beitrag No.18, eingetragen 2020-02-22

Hallo das war ein Tipfehler, es geht ja um sin(1/x) also sollte da stehen : \ Betrache nun x_n=1/((2n+1)\pi) (n\el\ \IN). Dann ist sin(1/x_n)=0, cos(1/x_n)=-1. bis dann, lula


   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]