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  Stetigkeit, Differenzierbarkeit |
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lEn00x
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.10.2002
Mitteilungen: 118
 |  Themenstart: 2003-04-22
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Hallo,
Ich bin heute schon wieder über ein paar Unklarheiten gestolpert :) :
1.) Wie differenziere ich eine Funktion die einen Betrag beinhaltet? z.B: f(x)=|cos(x)|
2.) Warum ist die Funktion f(x)=|cos(x)| im Intervall [0,p] nur auf [0,p]\{p/2} differenzierbar? Wie komme ich darauf?
3.) Kann ich die Stetigkeit einer Funktion anstatt Punktweise, auch für ein ganzes Intervall bestimmen, oder ist das nur grafisch möglich?
danke für eure super hilfe,
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-22
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zu 1 und 2
Das ist eine Frage des geschickten Vorgehens. z.B.
abs(cos (x))=fdef(cos(x),0<=x<= \p/2;-cos (x),\p/2p].
In den einzelnen Teilbereichen ist cos (x) bzw. -cos(x) stetig und differenzierbar.
Also muß man nur noch die Stelle 0,5*p untersuchen.
lim(x->\p/2-0,cos(x)')=lim(x->\p/2-0,(-sin(x)))
=-sin(\p/2)=-1
(p/2-0 bedeutet linksseitiger Limes). Das gleiche machst du mit dem rechtsseitigen Limes. Dann weißt du, warum sie an dieser S.telle nicht differenzierbar ist.
zu 3
Stetigkeit ist immer auf eine Stelle x_0 beschränkt. Wenn du Stetigkeit für ein ganzes Intervall nachweisen willst, geht es nur, wenn sich deine Funktion aus (auf diesem Intervall) stetigen Funktionen zusammensetzen läßt.
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-04-22 17:12 ]
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lEn00x
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 23.10.2002
Mitteilungen: 118
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-22
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ok.
der rechte limes ist dann +sin(p/2)=1 und d.h. die funktion kann an dieser stelle nicht differenziert werden.
Aber wie komme ich auf den links/rechtsseitigen limes? (warum nehme ich die 1. Ableitung?)
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
|  Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-22
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Wenn du Differenzierbarkeit nachweisen willst, geht es nicht ohne die 1. Ableitung. Der große Voretil bei dieser Methode ist doch, daß die Funktionen in ihren teilbereichen steitig und differenzierbar sind und du das an diesen Stellen nicht mehr nachrechnen mußt.
Du mußt also nur die Übergangsstellen (hier z.B. PI/2) untersuchen.Auch indiesem Fall wird die Rechnung einfach. Du berechnest in diesem fall nur den rechts-bzw. linksseitigen GW der Ableitungen statt mühsam die Differenzierbarkeit per Definition nachzurechnen.
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space
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.04.2003
Mitteilungen: 39
 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-23
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Hallo
SchluBi ich glaube du vermischt hier etwas.
"Wenn du Differenzierbarkeit nachweisen willst, geht es nicht ohne die 1. Ableitung."
Eine Funktion ist denau dann differenzierbar, wenn lim_{h->0} ( f(x+h)-f(x) ) /h existiert. Der Grenzwert heisst dann Ableitung. Deine Aussage ist deshalb etwas verwirrend.
Den Limes von der ersten Ableitung zu bestimmen ist glaube ich nicht notwendig.
Es reicht die Funktionen abzuleiten und den Funktionswert der kritischen Stelle zu berechnen.
D.h. dcos(x) / dx = -sin(x) und d -cos(x) / dx = sin(x)
Einsetzen ergibt -sin(Pi/2) = -1 != 1 = sin(Pi/2)
Da unterschiedlich ist die Funktion nicht differenzierbar.
Also natürlich das gleiche Ergebnis wie du.
Aber kann es sein, dass du dich geirrt hast bei der Anwendung des Limes auf die erste Ableitung ?
Oder liege ich falsch s.d. die Ableitung alleine und Einsetzen des Funktionswertes nicht ausreicht ?
Hmm, dabei fällt mir ein: Ist eine Funktion in x0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.
Daraus schließe ich mal, dass unsere Methoden beide korrekt sind....meine aber anschaulicher (?)
Gruß, space
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Hans-im-Pech
Senior
Dabei seit: 25.11.2002
Mitteilungen: 6919
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-23
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Hallo,
zur Ergänzung an alle noch:
Damit man diese Aufspaltung der Ableitung in Teilintervalle vornehmen kann und dann deren jeweiligen Grenzwert vergleichen kann, muß man erst festgestellt haben, daß die Funktion an der Nahtstelle stetig ist.
Ist sie dies nämlich nicht, so kann sie auch nicht stetig sein.
I. A. genügt es aber nicht, zu zeigen, daß die Limites der "Teilableitungen" gegen denselben Wert konvergieren.
Tschüß
HiP
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