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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Moduln » K[X]-Modul über Vektorraum V
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Universität/Hochschule J K[X]-Modul über Vektorraum V
Fragezeichen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2007-05-02


Hallo,

ich will zeigen, dass durch folgende Konstruktion ein K[X]-Modul über dem Vektorraum V entsteht:

Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und f:V-->V eine K-lineare Abbildung von V in sich.
fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von Fragezeichen am 02.05.2007 15:07:14 ]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2007-05-02


Hi.

Da ist ein Tippfehler drin. Die Skalarmultiplikation ist so gemeint:
fed-Code einblenden
Du bildest also die Abbildung p(f) und wendest sie auf v an.

mfg Gockel.



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Fragezeichen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-02


Hi Gockel,

hm, dann sitze ich wohl gewaltig auf'm Schlauch ;-)

Zunächst die Definition eines Moduls, die ich dem zu Grunde lege:
fed-Code einblenden

Edit: Legt man hier den Poylnomring K[X] mit der üblichen Polynomaddition und der Komposition (und nicht der Polynommultiplikation) zu Grunde? Dann wäre das neutrale Element id und damit wäre id*v=v klar. M3 wäre dann auch einfach nachzuweisen.


[ Nachricht wurde editiert von Fragezeichen am 02.05.2007 15:41:05 ]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2007-05-02


Hi.

Sicher, die 1 in K[X] ist das konstante 1-Polynom, aber wenn du eine Abbildung in das 1-Polynom einsetzt, erhälst du die identische Abbildung und keine konstante Abbildung, denn id ist das 1-Element von End(V).

Zum Beweis der Assoziatität benutze, dass f eine lineare Abbildung  ist, also sind auch alle Potenzen von f lineare Abbildungen. Damit kannst du die Summen schön auseinanderbasteln.

mfg Gockel.



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2007-05-02


1(f)=id, also 1*v = v.

übrigens ist ein R-modul auf einer abelschen gruppe V nix anderes als ein ringhomomomorphismus R -> End(V), und hier hat man gerade den einsetzungshomomorphismus K[X] -> End(V) für f. wenn man das also schon kennt, ist nichts mehr zu zeigen. ansonsten handelt es sich aber auch um straight forward rechnungen.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Fragezeichen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-02


Hi Ihr zwei,

ah, nun geht mir ein Licht auf, denn jetzt klappt auch die Rechnung.
Besten Dank Euch beiden.

Gruß
?





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