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| Autor |
  Diagonalisierbarkeit und Minimalpolynom |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2007-06-21
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Hallo Planetarier,
Ich soll gerade folgende Aussage beweisen:
Es seien V ein endl. erzeugter K-Vektorraum und \phi ein Endomorphismus
z.z. \phi ist genau dann diagonalisierbar ,wenn das Minimalpolynom p_\phi vollständig in Linearfaktoren zerfällt:
Meine bisherige Beweisskizze sieht wie folgt aus:
V endl. erzeugt, also sei dim V=n
\phi diagonalisierbar => das charakteristische Polynom \chi_\phi (x)
zerfällt vollständig in Linearfaktoren ,d.h.
\chi_\phi (x)=(x-c_1)^r_1*....*(x-c_k)^r_k
wobei c_1,...,c_k die paarweise verschiedenen Eigenwerte sind und sum(r_i,i=1,n)=n (=dimV) gilt
Es gilt p_\phi teilt \chi_\phi =>jeder Eigenwert c_1,..c_k ist auch Nullstelle von p_\phi
(Dies ist nicht mehr zu beweisen ,denn das hatten wir schon in der Vorlesung)
Außerdem gilt deg(p_\phi)<=deg(\chi_\phi)
=>p_\phi besitzt keine weiteren Nullstellen als die c_1,...c,k
=>p_\phi zerfällt in Linearfaktoren q.e.d
Meine Frage ist ,ob man das soweit so lassen kann.
Vor allem ,ob es noch nötig ist ,eine Rückrichtung zu beweisen ist.
Eigentlich würde alles genauso gehen bis zu c_1,...c_k sind die Eigenwerte von \phi
Wüsste halt dann nur nicht ,wie ich dann zeigen könnte ,daß die Dimension der direkten Summe der Eigenräume dann n ist.
Ach so und noch etwas: Wir haben noch keine Jordannormalform etc. zur Verfügung. Es ist also mit LA 1 Mitteln zu beweisen
Gruß Erik
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WebFritzi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.10.2004
Mitteilungen: 2117
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-06-22
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Da steht aber, dass das Minimalpolynom "vollständig" in Linearfaktoren zerfällt. Das soll wohl bedeuten, dass es keine mehrfachen Nullstellen hat. Sonst wäre die Behauptung falsch. Nimm z.B. die Matrix
\
(0,1;0,0)
Hier sind Minimal- und charakteristisches Polynom gleich, nämlich p(z) = z^2. Das Minimalpolynom zerfällt also in Linearfaktoren, die Matrix ist aber nicht diagonalisierbar, denn die geom. Vielfachheit des einzigen (doppelten) Eigenwertes ist 1.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-22
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Hallo Webfritzi,
Also müsste das Minimalpolynom die Form:
p_\phi=produkt((x-c_i),i=1,k) haben ,damit alle c_i nur einmal vorkommen.
Aber ich habe keine Idee ,wie man das beweisen kann
Gruß Erik
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DULL
Senior
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Wohnort: Kiel
| Beitrag No.3, eingetragen 2007-06-22
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Moin 3rik,
du brauchst tatsächlich, dass die Nullstellen einfach sind. Damit klappt es dann aber auch.
Zum Beweis hier ein paar Ideen:
Wenn \phi diagonalisierbar ist, so bezeichne die Eigenwerte mit k_1 ,..., k_n. Wenn h das Minimalpolynom ist, so gilt:
h(k_i )=0, wie du ja schon gemerkt hast, also ist (x-k_1 )...(x-k_n ) ein Teiler von h, außerdem ist (x-k_1 )...(x-k_n ) (\phi)=0, also h=(x-k_1 )...(x-k_n )
Zur anderen Richtung:
h zerfalle in paarweise verschiedene Linearfaktoren k_1 , ... , k_n . Seien V_1 , .. , V_n die zugehörigen Eigenräume, also: V\supersetequal\ V_1 \oplus\ ...\oplus\ V_n . Zu zeigen ist, dass V=V_1 \oplus\ ...\oplus\ V_n
Mache nun Induktion anch n:
Rechne dann nach, dass man auf f:=(x-k_1)...(x-k_(n-1) ) und U:=(\phi-k_n id)(V) die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Dann liefert die Induktionsannahme, dass U=V_1 \oplus\ ...\oplus\ V_(n-1) .
Nun wendest du die Dimensionsformel an und erhälst, dass V=U+V_n
[ Nachricht wurde editiert von DULL am 22.06.2007 17:29:22 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-22
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Hallo Dull,
Die Hinrichtung hatte ich mir in der Zwischenzeit anders überlegt:
Setze p:==produkt((x-c_i),i=1,k)
Beh. p=p_\phi
Bew. Es gilt (x-c_i)teilt p_\phi für i=1,...k
Außerdem gilt degp=degp_\phi ,da p_\phi minimal und da p und p_\phi normierte Polynome sind
=>p=p_\phi und damit wäre es dann auch bewiesen.
Deine Rückrichtung sieht ja auch ganz gut aus. Darüber werde ich jetzt erstmal etwas brüten müssen..
Auf jeden Fall schonmal vielen Dank dafür!
Gruß Erik
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WebFritzi
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| Beitrag No.5, eingetragen 2007-06-23
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Dein Beweis ist leider nicht OK. Um zu zeigen, dass p dein Minimalpolynom ist, musst du p(A) = 0 beweisen. Das ist aber ganz einfach, wenn du weißt, dass A diagonalisierbar ist.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-23
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Hallo Webfritzi,
Das würde dann doch so gehen: es gilt p_\phi (A)=0 ,weil das Minimalpolynom ist doch ein annulierendes Polynom
Außerdem gilt p teilt p_\phi ,folgt dann schon das auch p(A)=0 gilt?
Gruß Erik
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WebFritzi
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| Beitrag No.7, eingetragen 2007-06-23
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\quoteon(2007-06-23 12:13 - 3rik)
\
Außerdem gilt p teilt p_\phi ,folgt dann schon das auch p(A)=0 gilt?
\quoteoff
Nein. Wie ich schon schrieb, musst du das "ausrechnen". Nimm dir irgendeinen Vektor x und zeige, dass p(A)x = 0 gilt. Da x beliebig war, folgt dann p(A) = 0. Da p ein Teiler des Minimalpolynoms ist, folgt dann wiederum, dass p das Minimalpolynom sein muss, denn dies ist ja das kleinste Polynom, welches A annuliert.
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