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  Kongruenzsystem |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2007-12-21
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Hallo,
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Ein System von Kongruenzen mit versch. Moduln > 1 heisst überdeckend, wenn für jede ganze Zahl mind. eine der Kongruenzen erfüllt ist.
Zeige, dass das Kongruenzsystem
x == 0 (mod 2)
x == 0 (mod 3)
x == 1 (mod 4)
x == 1 (mod 6)
x == 11 (mod 12)
überdeckend ist.
Mit den ersten beiden Bedingungen erschlägt man ja quasi alle geraden und alle durch 3 teilbaren Zahlen. Nun müsste man zeigen, dass das was übrig bleibt, also alle zu 2 und 3 teilerfremden Zahlen, durch die restlichen drei Kongruenzen erschlagen werden. Hier scheitere ich irgendwie. Wenn man es ausprobiert klappt es natürlich, aber ich sehe keine Regelmäßigkeit der ich nachgehen könnte.
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-12-21
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Hallo VanillaFish!
Ein systematischerer (und daher erfolgversprechenderer) Weg wäre sicherlich, von jeder Restklasse bzgl. des kleinsten gemeinsamen Vielfachens aller Moduln nachzuweisen, daß sie mindestens eine der gegebenen Kongruenzen erfüllt.
Dabei wird man die Transitivität der Teilerrelation anwenden können:
Z.B. erfüllen alle durch 12 teilbaren Zahlen die erste Kongruenz, weil 2 ein Teiler von 12 ist; usw. ...
Liebe Grüße, Franz
[Verschoben in Forum 'Kongruenzen' von fru]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-22
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Meinst Du damit ich soll für 1 - unendlich die Restklassen durchiterieren? Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass es so gehen soll. Das wäre doch viel zu viel Arbeit. Gibt es nicht für alle zu zwei und drei teilerfremden Zahlen eine Eigenschaft bzgl. der drei anderen Kongruenzen?
[ Nachricht wurde editiert von VanillaFish am 22.12.2007 00:31:15 ]
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fru
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Dabei seit: 03.01.2005
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| Beitrag No.3, eingetragen 2007-12-22
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Wie kommst Du denn darauf, daß es unendlich viele Restklassen gäbe?
Weißt Du denn wirklich nicht einmal, wieviele Restklassen es modulo 12 gibt? Das kann ich mir kaum vorstellen, vielleicht meinst Du ja auch etwas anderes? Dann versuche es bitte neu zu formulieren, damit ich es verstehen kann.
Deine abschließende Frage ist mir ganz unklar ...
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-22
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Äh nein, weiß ich gerade nicht. Ich meinte, ob man nicht für alle Zahlen die nicht ==0 mod 2 oder 3 sind, nicht generell etwas sagen könnte das zeigt dass dafür die anderen 3 Kongruenzen treffen.
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fru
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| Beitrag No.5, eingetragen 2007-12-22
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Möglicherweise kann man das, ich habe darüber nicht nachgedacht.
Einfacher \(wenn auch nicht besonders kreativ) ist jedoch mein Vorschlag:
Zu jeder von 0 verschiedenen ganzen Zahl m als Modul gibt es genau abs(m) Restklassen. Sie werden z.B. durch die zwischen 0 und abs(m-1) \(jeweils einschließlich) liegenden ganzen Zahlen repräsentiert.
\small\ Wenn Du allerdings nicht einmal das__ weißt, solltest Du diese Aufgabe vielleicht besser als für Dich momentan noch zu schwer beiseite lassen. Mit einem Nachlernen zumindest der elementarsten Grundlagen der Teilbarkeitslehre würdest Du Deine Zeit nämlich mit Sicherheit wertvoller nutzen als mit einer "Jagd" nach Punkten für eine Aufgabe, welche so weit außerhalb Deiner Reichweite liegt.
Es gibt also abs(12)=12 Restklassen modulo 12:
[0]_12, [1]_12, ..., [10]_12, [11]_12
Für die erstgenannte habe ich Dir im vorigen Beitrag schon gezeigt, wie man nachweist, daß alle ihre Vertreter mindestens eine der fünf Kongruenzen erfüllen.
Verstehst Du, was ich dort geschrieben habe?
Kannst Du den ganz analogen Beweis für die Elemente der nächstgenannten Restklasse \(in der 1 liegt) selbst führen?
[ Nachricht wurde editiert von fed am 22.12.2007 01:00:39 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-22
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Ah, jetzt weiß ich wovon du sprichst. Ich habe verstanden was Du meinst. Die 1 erfüllt aber doch die Kongruenz ==1 mod 4, nicht?
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fru
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Dabei seit: 03.01.2005
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| Beitrag No.7, eingetragen 2007-12-22
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\
Ja, genauer liegen die Verhältnisse so:
(x==1 mod 12) => (x==1 mod 4)
Denn 4 teilt 12, und die Voraussetzung x==1 mod 12 ist gleichwertig mit 12 teilt (x-1). Nun wenden wir die Transitivität
(a\|b\and\ b\|c) => a\|c
der Teilerrelation an:
(4\|12\and\ 12\|(x-1)) => 4\|(x-1)
und 4\|(x-1) ist wieder nur eine andere Schreibweise für das herzuleitende x==1 mod 4.
Überlege Dir nun, wie sich aus diesen ersten Teilbeweisen für die Restklassen [0]_12 und [1]_12 sofort auch ein Beweis für viele andere Restklassen modulo 12 ergibt. Danach sollte nur mehr die Restklassen [3]_12, [7]_12 und [11]_12 offenbleiben, für welche der Nachweis, daß ihre Elemente eine der gegebenen Kongruenzen erfüllen, auch ganz einfach ist.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-22
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Ich denke ich hab's verstanden. Danke :)
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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