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| Autor |
 Euler und Fermat, Teilbarkeit |
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Fisch007
Neu 
Dabei seit: 26.12.2007
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2007-12-26
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Hallo,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:
"Man zeige, dass 42 teilt a^7-a für alle a aus Z gilt.
Hinweis: 42=2*3*7 sowie die 2. Variante des Satzes von Fermat:
a^p $== # a mod p
p sei eine Primzahl, a bel. aus Z "
soweit bin ich schon gekommen:
42 teilt a^7 -a
<=> a^7 $== # a mod 42
und aus 42=2*3*7 folgt
a^7 $== # a mod 2
a^7 $== # a mod 3
a^7 $== # a mod 7
an dieser Stelle komm ich allerdings nicht weiter.
Ich hoffe auf eure Hilfe!
LG, Fisch
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 Profil
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Hofmann
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.07.2007
Mitteilungen: 65
Wohnort: Nürnberg, Deutschland
| Beitrag No.1, eingetragen 2007-12-26
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Hallo Fish0007,
a^7 - a = a * (a^3 + 1) * (a^3 -1)
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Profil
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.2, eingetragen 2007-12-26
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Herzlich Willkommen, Fisch, auf dem Matheplaneten!
Versuche zunächst (a^7-a) zu faktorisieren!
Dann kannst Du die Transitivität der Teilerrelation anwenden:
a\|b\and\ b\|c
=>
a\|c
Du brauchst also nur nachzuweisen, daß (a^7-a) durch 2, 3 und 7 teilbar ist. Für 7 folgt dies ja sofort aus dem Satz von Fermat, es bleibt daher nur mehr die Teilbarkeit durch 6 zu beweisen.
Liebe Grüße, Franz
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben in Forum 'Kongruenzen' von fru]
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2007-12-26
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Hi Fisch007,
willkommen!
Man braucht das Polynom nicht zu faktorisieren, der kleine Satz von Fermat
in der Fassung ap ≡ a mod p genügt.
Für p = 2 ist dann a7 = (a2) * a5 ≡ a * a5 = a6 ≡ a5 ≡ a4 ≡ a3 ≡ a2 ≡ a mod 2.
Für p = 3 gilt a7 = (a3) * a4 ≡ a * a4 = a5 ≡ a3 ≡ a mod 3.
Somit gilt a7 ≡ a für den Modul 2, 3 und auch 7.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 26.12.2007 15:11:44 ]
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Fisch007
Neu
Dabei seit: 26.12.2007
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-26
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