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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Zu beweisen, dass es eine Basis gibt.
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Kein bestimmter Bereich Zu beweisen, dass es eine Basis gibt.
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2002-05-28

Hallo Leute, ich bräuchte Hilfe bei diesem Beweis. Ich hab mir auch Gedanken dazu gemacht, aber ich glaub nicht, dass das richtig ist. Erstmal die Aufgabe: Sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum mit Skalarprodukt. Beweisen Sie, daß es eine Basis (b1, b2) von V gibt, mit b1 senkrecht b2 und ||b1|| = ||b2|| = 1. Ich hab mir nun gedacht, wenn man beweisen soll, dass es eine Basis gibt, reicht es dies für einen Fall zu zeigen: Sei K = |R b1:= (1,0) b2:= (0,1) Die beiden Elemten der Basis spannen V auf, des weiteren sind sie senkrecht aufeinander und die jeweilige Norm beträgt auch eins. Soweit meine Überlegungen. Ich hoffe jemand kann mir sagen (falls meines falsch ist) wie es richtig heißen muss. Besten Dank im voraus. Ciao, Ronnie


 
kadarin
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-28

ich formulier die aufgabenstellung mal um: zu zeigen: für alle 2dimensionalen K-Vektorräume V mit beliebigem Skalarprodukt gilt: es gibt eine basis {b1,b2}, so daß áb1,b2ñ=0 und ||b1||=||b2||=Öáb1,b1ñ=0 bisher hast du nur gezeigt, dass es einen solchen Vektorraum (über einen solchen Körper mit einem Skalarprodukt (dem kanonischen)) gibt.


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kadarin
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  Beitrag No.2, eingetragen 2002-05-28

so, jetzt ist mir mehr eingefallen. wenn du beweisen willst, dass dies für alle V gilt, kannst du damit anfangen, dass es für ein V gilt,und dann noch zeigen, daß es unter transformationen invariant bleibt (bei Vektorräumen mitIsomorphie argumentieren), aber ich sehe  nicht, inwieweit das hier ginge. tip: dein ansatz ist auf beliebige körper ausdehnbar. warum?


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blauklaus
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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-05-28

hi ronnie in der tat ist deine obige überlegung nur für deinen spezialfall verwendbar. im allgemeinen geht man von einer basis {v1,v2} aus und berechnet w1=v1/||v1|| w_2=v2-(w1,v2)w1 w2=w_2/||w_2|| (,) ist das skalarprodukt man sieht (w1,w2)=0 die beiden vektoren sind linear unabhängig aw1+bw2=0 0=(w1,aw2+bw2)=a(w1.w2)+b(w2,w2)=b analog für a gruss b.


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kadarin
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  Beitrag No.4, eingetragen 2002-05-28

blauklaus hat völlig recht, er hat so gezeigt, daß jeder 2dim. Vektorraum, der eine Basis hat, auch eine Orthonormalbasis (eine Basis mit den oben geforderten Eigenschaften) hat. wenn du jetzt noch zeigst, dass jeder 2dim. vektorraum eine basis hat oder verwenden darfst, daß jeder endlichdimensionaler vektorraum eine basis hat, dann bist du fertig.


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