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Matroids Matheplanet Forum Index » 7. Matheplanet Challenge » Aufgabe 3
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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 3
Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2008-03-19


Aufgabe 3 (5 Punkte)

fed-Code einblenden



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2008-03-21


Ich habe noch nicht näher darüber nachgedacht, aber mal ein paar Fälle durchgerechnet (genauer: durchrechnen lassen). Die Lösung ist demnach ziemlich sicher 9.

[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 21.03.2008 11:20:05 ]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2008-03-21


@spitzwegerich: Das ist auch meine Meinung, aber so ganz bin ich beim Beweisen nicht durch. Ich gehe davon aus, daß hier ein Trick dahintersteckt, den zwar der Wissende, nicht aber der Suchende sofort findet.
Gruß Wauzi



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2008-03-21


Hallo Herausforderer, Hallo Team!

die Aufgabe ist wieder einmal eine kompliziert wirkende einfache Aussage. Der gesuchte ggT ist 9.

Dies stellt man z.B. so fest: Setzt man m=n=p=1, so erhält man den Wert 27 für den term, für m=n=1 und p=2 erhält man 180, sodass der ggT von diesen beiden nur 9 ist, der ggT aller dieser Zahlen also ein teiler von 9 ist.

Dass er genau 9 ist, d.h. jede dieser Zahlen durch 9 teilbar ist, erhält man dadurch, indem man die Potenz von 3 bestimmt, durch die dieser Ausdruck teilbar ist. Dazu benutzt man folgende bekannte Identittät:

fed-Code einblenden


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 21.03.2008 11:29:24 ]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2008-03-21


Hi Cyrix.

Bis dahin bin ich auch gekommen. Allerdings hast du im entscheidenen Schritt die Reihe falsch ausgewertet:
fed-Code einblenden

mfg Gockel.



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2008-03-21


Achja: Ich bin trotzdem der Meinung, dass 9 der richtige ggT ist und ein kleines Programm, dass diese Exponentenzählung durchgeführt hat, bestätigt diese Vermutung zumindest für n,m,p < 1000.

mfg Gockel.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2008-03-21


Hallo Gockel!

Hm, das ist natürlich doof, dass mir ein solcher Rechenfehler unterläuft. Also muss man die Summe der letzten 3 Summen (also die mit m+n, usw.) genauer berechnen und nicht so krude abschätzen.

Am einfachsten geht das so:

fed-Code einblenden

So, nun korrekt?


Schaut lieber mal genau drauf. :)


Grüße,
Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 21.03.2008 21:25:15 ]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2008-03-21


Oh man, da hätte ich selbst drauf kommen müssen! *fluch*

Ja, jetzt stimmts. Wenn x/2 ganzzahlig ist, dann ist die Summe kleiner x/2-1/2, und wenn wenn x/2 das nicht ist, dann ist die Summe kleinergleich x/2-1/2.

mfg Gockel.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2008-03-21


@cyrix: Schön gemacht!
Gruß Wauzi



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2008-03-21


Schöne Aufgabe, danke Buri!

Hat jemand eine kombinatorische Lösung? Ich weiß, das ist vielleicht zu viel verlangt, aber vielleicht ist es immer noch einfacher als bei www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=160695 .

Verallgemeinern kann man natürlich auch ohne Ende: was ist z. B. der ggT aller Zahlen

fed-Code einblenden

für positive ganze Zahlen a_1, a_2, ..., a_n ? (Das n sollte festbleiben und ungerade sein.) Was ich zeigen kann ist, daß diese Zahlen alle ganz sind; für n prim sind sie auch noch durch n^(n-1) teilbar. Bin gerade allerdings zu faul, zu schauen, ob sie auch mal durch etwas anderes teilbar sind.

EDIT: FED-Tags entfernt, weil die Formel im FED falsch dargestellt wird.

  Darij
[ Nachricht wurde editiert von isotomion am 21.03.2008 22:52:53 ]
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 21.03.2008 23:08:56 ]

[ Nachricht wurde editiert von isotomion am 29.03.2008 17:47:39 ]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2008-03-21


2008-03-21 22:51 - isotomion schreibt:
EDIT: FED-Tags entfernt, weil die Formel im FED falsch dargestellt wird.

Dann schreibe halt die richtige Formel hin, dann klappts auch mit dem fed. wink

fed-Code einblenden

mfg Gockel.

[ Nachricht wurde editiert von fed am 21.03.2008 23:18:54 ]



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2008-03-21


Nö Gockel, um die na_i gehören Klammern.

  Darij



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2008-03-21


Gut, dann mache ich halt welche hin.

mfg Gockel.



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2008-03-21


Danke! Hatte nicht gedacht, daß man Doppelklammern braucht.

  Grüße,
  darij



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2008-03-21


Hallo Darij, man braucht auch keine Doppelklammern wink (wenn man alle Rechenzeichen, evtl. als "stille", auch schreibt):

fed-Code einblenden


Liebe Grüße, Franz



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2008-03-27


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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2008-03-27


Vielen Danke, Franz.

Ich habe die ganze Zeit die Idee mit den Quersummen als zweiten Ansatz verfolgt, bin aber auf keinen grünen Zweig gekommen damit. Schön zu sehen, dass es doch irgendwie klappt. smile

mfg Gockel.



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2008-03-27


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2008-03-29


Lösung:
Der gesuchte ggT ist gleich 9.
Für den gegebenen Bruch B(m,n,p) erhält man die Werte B(1,1,1) = 27 und B(1,1,2) = 180, der gesuchte ggT ist also ein Teiler von 9.
Zunächst muß man beweisen, daß alle B(m,n,p) ganze Zahlen sind.
fed-Code einblenden
Schließlich untersucht man die Primzahl q = 3 und beweist, daß in diesem Fall
die Summe stets ≥ 2 ist. Siehe Beitrag #6 von cyrix und Beitrag #15 von fru.



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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2008-03-29


Fru: danke für das Gegenbeispiel! Habe jetzt die Verallgemeinerung korrigiert (jetzt ist sie auch wirklich eine Verallgemeinerung). Hatte vergessen, im Exponenten durch 2 zu teilen.

  Grüße,
  Darij



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Kay_S hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kay_S hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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