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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 6
Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2008-03-19


Aufgabe 6 (11 Punkte)

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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2008-03-21

Magma
A := Matrix(Integers(),4,4,[
    32428,-39179,40876,14163,
    1753,13135,40190,57864,
    -32968,9937,-31399,47004,
    10517,56634,52793,-8562
]);
L := Lattice(A);
ClosestVectors(L,Vector(Integers(),[100000,100000,100000,100000]));

liefert die Ausgabe

[
    (101138 101787  99669  99990)
]
4598074

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[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 21.03.2008 12:54:01 ]
[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 22.03.2008 14:47:35 ]

[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 26.03.2008 00:42:18 ]



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akz1on
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2008-03-22


Die Antwort ist irgendwie nicht ganz richtig. =) bzw. die 2te Komponente von z stimmt nicht und führt beim nachrechnen zu Fehlern.

Ich würde gern wissen, ob die Aufgabe nur numerisch lösbar ist, oder ob es einen eleganteren Weg gibt.

[ Nachricht wurde editiert von akz1on am 22.03.2008 12:36:51 ]



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-22


Es gibt einen systematischen Weg, der auf die Lösung führt.

Kay



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2008-03-22


Also ich wäre da folgendermaßen an die Aufgabe herangegangen:

Man ignoriere ersteinmal die Ganzheitsbedingung von z1 bis z4, und berechne die Linearkombinations-Koeffizienten exakt. Dann kennt man genau die Koordinaten des Punktes w im von den Vektoren b1 bis b4 aufgespannten "schiefwinkligen Koordinatensystem" (bzw. dem von diesen Vektoren erzeugten Gitter).

Durch alle Kombinationen von Auf- und Abrunden der 4 z-Koordinaten erhält man die 16 Eckpunkte der "Gitter-Zelle", in welcher der Punkt w liegt. Einer davon ist dann der gesuchte. (Wenn ich es mir recht überlege, dürfte dies dann die "normale" Rundung sein.)


Grüße,
Cyrix



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-22


2008-03-22 13:51 - cyrix schreibt:
Durch alle Kombinationen von Auf- und Abrunden der 4 z-Koordinaten erhält man die 16 Eckpunkte der "Gitter-Zelle", in welcher der Punkt w liegt. Einer davon ist dann der gesuchte.

Eine interessante Idee. Funktioniert sie denn auch?  smile

Kay



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2008-03-22


2008-03-22 12:31 - akz1on schreibt:
Die Antwort ist irgendwie nicht ganz richtig. =) bzw. die 2te Komponente von z stimmt nicht und führt beim nachrechnen zu Fehlern.

Ich habe nochmal nachgerechnet und kann keinen Fehler erkennen.
Wo ist denn das Problem?



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aceman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2008-03-22


2008-03-22 13:57 - Kay_S schreibt:
Eine interessante Idee. Funktioniert sie denn auch?  :-)

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Vielleicht lässt sich die (Hyper-)Kugel, welche im Bildraum alle Punkte mit gleichem Abstand von der exakten Lösung beschreibt zurück-abbilden auf eine andere Form (Hyperellipsoid eventuell? Über die Eigenvektoren/-werte der Umkehrabbildung vielleicht?) mit der sich die Aufgabe dann systematisch lösen lässt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2008-03-22


2008-03-22 13:57 - Kay_S schreibt:
2008-03-22 13:51 - cyrix schreibt:
Durch alle Kombinationen von Auf- und Abrunden der 4 z-Koordinaten erhält man die 16 Eckpunkte der "Gitter-Zelle", in welcher der Punkt w liegt. Einer davon ist dann der gesuchte.

Eine interessante Idee. Funktioniert sie denn auch?  :-)

Kay

Nein, mit Gleitkommaarithmetik kommt
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raus.

Wäre schon ein rechter Zufall gewesen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 22.03.2008 15:09:04 ]



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Ueli
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2008-03-25


Hallo zusammen,

Ich habe auch mal die "exakte" Lösung genommen und auf alle Möglichkeiten gerundet:

Der Abstand vom Vektor

Z=(186390, -201154, 216535, 137605)

liefert das kleinste Resultat: a=5646.

Ist dies sicher die beste Lösung?
Nein, meiner Meinung nach müsste man noch Lösungen ausserhalb des Parallelepipeds suchen, in dem sich der Punkt (1,1,1,1) befindet.

Das wollte ich dem Taschenrechner und meinem Tipfinger aber nicht mehr zumuten.

Gruss Ueli



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2008-03-25


Hier nochmal eine Skizze um die Bemerkungen, die darauf hinwiesen, daß der optimale Gitterpunkt nicht in derselben Gitterzelle liegen muß, zu verdeutlichen. Im Prinzip ist es kein Problem, eine Aufgabe zu konstruieren, in der der optimale Gitterpunkt beliebig viele Gitterzellen entfernt ist. Und ich traue den Aufgabenstellern jede Gemeinheit zu!

Bild
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 25.03.2008 15:28:51 ]



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krischi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2008-03-25


2008-03-25 14:36 - Realshaggy schreibt:
Und ich traue den Aufgabenstellern jede Gemeinheit zu!
Klar, die wollen schließlich gewinnen!


[ Nachricht wurde editiert von krischi am 25.03.2008 16:45:08 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2008-03-25


Nehmen wir mal an, die von spitzwegerich gefundene Lösung stimmt, dann  finde ich unseren Lösungsweg irgendwie sehr unbefriedigend. Geht das nur mir so?



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2008-03-25


Ich gehe schon davon aus, dass der Magma-Befehl richtig rechnet.

Laut Kay_S gibt es eine Lösung ohne Computer, das wäre natürlich wesentlich eleganter.



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2008-03-26


2008-03-25 20:08 - spitzwegerich schreibt:
Laut Kay_S gibt es eine Lösung ohne Computer, das wäre natürlich wesentlich eleganter.
Naja, wenn Gewalt zum Ziel fuehrt, kann man Gewalt anwenden... wink
Allerdings wuerde es mich interessieren, wie man solche Probleme ohne Gewalt loest... smile

Liebe Gruesse,
cow_




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2008-03-26


wie ist denn die Darstellung von w in der Basis bi?

bye trunx



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2008-03-26


Das ist die hier:

2008-03-22 15:05 - spitzwegerich schreibt:

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Ueli
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2008-03-26


Die Boshaftigkeit der Autoren kann man testen, indem man den Zielvektor etwas variert. Z.b. (100100, 100000, 100000, 100000).
Löst man nun die Gleichung exakt, dann sieht man dass Realshaggy richtig vermutet hat. Eine kleine Änderung am Zielvektor erzeugt eine grosse Abweichung in z.
Etwa so wie mit dem Flügelschlag des Schmetterlings und dem Wirbelsturm.



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2008-03-26


Naja dieses Bild ist vielleicht etwas überdramatisiert, schließlich geht es nur um die Lösung eines linearen Gleichungssystems im IR^4. So fies ist das Beispiel nun auch wieder nicht gewählt, die Winkel zwischen den Basisvektoren liegen allesamt zwischen 65 und 120 Grad.



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Ueli
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2008-03-26


Na ja, mein Taschenrechner-Tipfinger schmerzt aber immer noch.

Um das Problem zu lösen könnte man ja auch die Ausgangslage verbessern. An Stelle des grossen schiefen Parallelepipeds ein kleines handliches, etwa rechtwinkliges machen und mit diesen neuen Basisvektoren das Gleichungssystem lösen.



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2008-03-26


Hm, die Idee verstehe ich nicht. Wenn du das ganze Problem auf eine neue Basis transformierst, hat doch w' in der neuen Basis dieselben Koordinaten wie w in der alten? In der Standardbasis stimmt es dann zwar, daß man von der Lösung des kontinuierlichen Problems einfach zur nächstliegenden Ecke im selben Quader gehen kann, um das diskrete Problem zu lösen, aber wenn du das ganze dann zurücktransformierst bleiben ja wieder die Koordinaten, das heißt du landest im selben "Eckpunkt", und das ist ja genau der falsche.


Edit: Irgendwie so könnte es aber gehen. Wenn ich nochmal das Bild von oben poste:

Bild

Ich will in dem Bild nur die Basisvektoren transformieren, und nicht den Punkt um den es dann geht. Das ganze mache ich derart, daß ich den waagerechten Basisvektor so belasse, und den "schrägen" so ändere, das er senkrecht mit derselben Orientierung wie bisher auf dem anderen steht, aber noch dieselbe Länge hat. Wenn ich dann das stetige Problem löse, und zur nächstliegenden Ecke gehe, ist das die "richtige".

Aber wie ich das ganze mit beliebigen Basisvektoren im IR^4 anstelle, davon habe ich keine Ahnung. Es muß auf jeden Fall eine Transformation auf eine Orthogonalbasis eine Rolle spielen, deren Vektoren dieselbe Länge haben wie die der Ausgangsbasis, und in der der Vektor (100000,100000,100000,100000) eine Koordinatendarstellung hat, die sich auf unsere gefundene Lösung rundet. Das ganze muß dann aber auch noch irgendwie gehen, ohne daß man vorher die Lösung schon kennt.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 26.03.2008 11:31:34 ]



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2008-03-26


Das klingt im Wesentlichen nach dem LLL-Algorithmus. Er findet Gitterbasen aus "kurzen" Vektoren und dürfte wohl auch im Inneren des oben benutzten Magma-Algorithmus ablaufen.

Der in Magma implementierte LLL-Algorithmus liefert

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Die Gitterbasisvektoren sind immer noch nicht sonderlich kurz. In Anbetracht des Ergebnisses war aber von vornherein klar, dass sie das auch nicht werden können.
[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 26.03.2008 11:59:09 ]

[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 28.03.2008 12:44:38 ]



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Delastelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2008-03-27


Hallo Leute!

Ich habe zu der Aufgabe auch einiges gerechnet.
Dabei kam ich auch auf das Ergebnis von spitzwegerich.
Mein Algorithmus (eine Heuristik)
(a) x_0 = (0,0,0,0) oder
(b) x_0 = (186390, -201154, 216535, 137605) // nichtganzzahlige Lösung des Problems
Plankalkül :-)
x_opt = x_0
for i = 1,1000000 
  x = x_opt + 4x Zufallszahl aus [-5000,5000] für alle 4 Komponenten des Vektors
  lokale Suche mit Nachbarschaft -1,+1 für alle 4 Komponenten des Vektors
  aktualisiere x_opt falls besseres Optimum gefunden
end for

Der Startwert (a) konvergiert häufig gegen eine Lösung 2469,... (siehe unten) ,
der Startwert (b) konvergiert meist gegen 2144,... (siehe unten).

Was im Verhältnis zu anderen Problemen der diskreten Optimierung auffällt, ist der Zugewinn an Information nach einer gewissen Rechenzeit. (Bei allgemeinen Problemen der diskreten Optimierung ist die ungefähre Lage des Lösungsvektors völlig unklar.)

Weiterhin ist mir aufgefallen, dass Lösungen mit gutem Zielfunktionswert ein bestimmtes Verhältnis in x besitzen und zwar 1.000 : -1.079 : 1.162 : 0.738

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Auf einen Nachteil dieses Heuristischen Ansatzes möchte ich noch hinweisen: bei dieser Aufgabe weiß man nie, ob man das Optimum gefunden hat - man sieht nur, dass der Zielfunktionswert nicht mehr fällt.

Viele Grüße
Ronald




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Ueli
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2008-03-28


Hat schon jemand versucht die vier Vektoren einzeln oder einige miteinander zu ersetzen durch diagonale Vektoren im Parallelepiped?
Dann könnte man die rationale Lösung finden und runden (wie cyrix es anfangs vorgeschlagen hat).
Das 2-d Beispiel von Realshaggy kann man auch so lösen.
Man hat dann zwar einige, aber eine genaue Zahl von Kombinationsmöglichkeiten, welche man abklappern muss.




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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2008-03-28


2008-03-28 08:22 - Ueli schreibt:
Hat schon jemand versucht die vier Vektoren einzeln oder einige miteinander zu ersetzen durch diagonale Vektoren im Parallelepiped?

Ja, siehe meinen Beitrag No. 21.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2008-03-28


@Delastelle
Interessanter Ansatz, und auch interessant dass du auf das selbe Ergebnis kommst.



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Delastelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2008-03-28


Mittlerweile kann ich mit lokaler Suche bei Startwert x = (0,0,0,0) die Lösung 2144,... in weniger als 1 Sekunde finden.
Fortran
for j = 1:4
  minx(j) = 0
end for
minfehler = 1000000
for i = 1:1000000
  if (minfehler > 100000)
    for j = 1:4
      x(j) = minx(j) + Zufallszahl aus [-7500,7500]
    end for
  else
    x(1) = minx(1) + Zufallszahl aus [-7500,7500]
    x(2) = floor(fak(2)*x(1))
    x(3) = floor(fak(3)*x(1))
    x(4) = floor(fak(4)*x(4))
  endif
  lokale Suche mit Nachbarschaft +/-1 für alle 4 Komponenten des Vektors x
  aktualisiere minx, minfehler falls neues Optimum gefunden 
end for
*****     
fak(i) := x(i) / x(1) falls abs(x(1)) > 0  
fak(i) := 1 falls x(1) = 0

Falls der beste Funktionswert schlechter als 100000 ist (zu Beginn der Optimierung; die Grenze 100000 ist willkürlich gewählt) werden 4 Zufallszahlen gebildet und zu x addiert.
Falls der beste Funktionswert besser/gleich 100000 ist, wird die 1.Komponente von x zufällig gewählt und die Komponenten 2 bis 4 so ermittelt, dass das Verhältnis in x wie in der besten gefundenen Lösung (minx) ist.
[ Nachricht wurde editiert von Delastelle am 29.03.2008 16:22:43 ]



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Kay_S
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Lösung
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