Wir betrachten die Funktion

H(x) := int(1/sqrt(sinh(t)), t, 0, x), | x >= 0

Gib einen geschlossenen Ausdruck für diejenige reelle Zahl r an, die die Gleichung

H(r) = 2*H(ln(5)/4)

erfüllt.

\
r = log(1 + tan(2 arctan( sqrt((5^(1/4) -1) (1 - (5^(1/4) -1)/(2 5^(1/4))))))^2)

Gut, wie man dadrauf kommt ist wie folgt:
Durch die Substitution s = sqrt(e^t - 1) erhaelt man,
dass
H(x) = 2 int(1/sqrt((1 + s^2) (1 + 1/2 s^2)),t,0, sqrt(e^x - 1))
Jetzt, muss man wissen, dass dies ein elliptisches Integral der ersten Art ist, also
H(x) = 2 F(\phi(x), 1/sqrt(2))
mit \phi(x) = arctan(sqrt(e^x -1)),
F(\phi,k) = int(1/sqrt((1 + t^2)(1 + k^2 t^2)),t,0,tan(\phi))

Jetzt ist es auf das Problem, zu wissen wo man nachschaut reduziert.
Also wer das Buechlein: ''Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists'' von Byrd und Fridman zur Hand hat. Findet auf Seite 13 die Formel 116.01, die besagt

F(\theta,k) \pm F(\beta,k) = F(\phi,k)

mit 

\phi = 2 arctan((sin(\theta) sqrt(1 - k^2 sin(\beta)^2) \pm sin(\beta) sqrt(1 - k^2 sin(\theta)))/(cos(\theta) + cos(\beta)))

Nun loest Einsetzen, die Aufgabe.

Deine formel lässt sich doch zu r = 2ln((1 +  (5^(1/4) -1) (1 - (5^(1/4) -1)/(2 5^(1/4))))/ (1-(5^(1/4) -1) (1 - (5^(1/4) -1)/(2 5^(1/4))

vereinfachen?
Gruß,

r = 2ln((2+5^(1/4) - 5^(-1/4))/(2-5^(1/4)+5^(-1/4))

r = 2*ln((1 +  (5^(1/4) -1) (1 - (5^(1/4) -1)/(2*5^(1/4))))/ (1-(5^(1/4) -1) (1 - (5^(1/4) -1)/(2*5^(1/4)))))=2*ln (2*wurzel(4,5)+sqrt(5)-1)/(2*wurzel(4,5)-sqrt(5)+1)

2*ln (2*wurzel(4,5)+sqrt(5)-1)/(2*wurzel(4,5)-sqrt(5)+1)=4*artanh ((sqrt(5)-1)*root(4,5^3))/10

mfG

\
Oder:

r=2*ln|(2+2*root(4,5)+root(2,5))/3


EDIT:
Wer es nachrechnen will, braucht den Numerus aus Beitrag No. 9 nur mit

(5+2*root(4,5)+root(2,5))/4

zu erweitern.

Wir führen nacheinander die Substitutionen

u := sqrt(sinh(t))
v := (2u sqrt(1 + u^4))/(1 - u^4)
w := arsinh(v^2)

durch (diese sind für das betrachtete Integrationsintervall zulässig). Dann bekommen wir

H(\alpha)
= int(1/sqrt(sinh(t)),t,0,\alpha), | | mit \alpha = ln(5)/4
= int(2/sqrt(1 + u^4),u,0,\beta), | | mit \beta = sqrt(wurzel(4,5)/2 - wurzel(4,5^3)/10)
= int(1/sqrt(1 + v^4),v,0,\gamma), | | mit \gamma = 1/3 sqrt(4 wurzel(4,5^3) + 8 wurzel(4,5))
= 1/2*int(1/sqrt(sinh(w)),w,0,r), | | mit r = 2 ln((2 wurzel(4,5) + sqrt(5) + 2)/3)
= 1/2*H(r)

Also ist r = 2 ln((2 wurzel(4,5) + sqrt(5) + 2)/3) die gesuchte Lösung.