| Autor |
  lokale Lipschitzbedingung |
|
cryptonomicon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
 |  Themenstart: 2003-10-13
|
moin allerseits!
diese woche habe ich das vergnügen, mich mit einer lokalen lipschitzbedingung anzufreunden.
dazu soll eine funktion untersucht werden, ob sie in einem streifen oder in einem rechteck um (0,0) einer L-bedingung genügt.
dazu gibt es zwei (vielleicht auch mehr, aber wir haben jedenfalls zwei) möglichkeiten der lösungsfindung.
1. weg : direkte abschätzung
2. weg : ableitung von f nach y und dann schaun, ob f in jedem kompaktum beschränkt ist
dazu habe ich auch ein paar beispiele, die mir allerdings alle überhaupt nicht einleuchten wollen.
bsp:
f(x,y) = e^(x+y)
dies wurde mittels zweitem weg gelöst wie folgt:
f^*=e^(x+y)
und dann gesagt, dass dies beschränkt in jedem kompaktum ist.
schön.
und warum?
kann mir jemand ein beispiel für eine funktion geben,
die nicht beschränkt ist in einem kompaktum? (vermutlich
verstehe ich dann, wo der knackpunkt liegt ..)
nette grüße,
cryptonomicon
|
 Profil
|
Seb
Senior 
Dabei seit: 01.07.2002
Mitteilungen: 734
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-13
|
Ich weiß nicht ob ich dies falsch verstehe, aber es heißt doch beschränkt in jedem Kompaktum. Dann wäre 1/x dies nicht. [0,1] ist Kompaktum und 1/x ist darauf unbeschränkt.
Seb
|
Profil
|
cryptonomicon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-13
|
jau. 1/x ist in der tat unbeschränkt. prima, damit hätte ich das schonmal verstanden.
wie ist das jetzt, wenn ich zwei variablen, also x und y, habe. untersuche ich dann meine funktion jeweils erst nach x, ob beschränktheit vorliegt und dann nach y?
|
Profil
|
Seb
Senior
Dabei seit: 01.07.2002
Mitteilungen: 734
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-10-13
|
Nun ja, die Funktion muss in einem gegebenen Kompaktum beschränkt sein, also für beide Variablen gleichzeitig. Um dies zu untersuchen kanst du natürlich (sofern die Geometrie deines Kompaktums dies zulässt z.B. Reckteck) dich erst auf eine Variable stürzen und die Schranken abschätzen in Abhängigkeit der anderen noch nicht betrachteten Variable. Und dann die Schranken bzgl. der zweiten Abschätzen.
Aber i.A. werden die Schranken dann nicht allzugut sein und du bekommst bessere Abschätzungen, wenn du es irgendwie schaffst, die Abschätzungen gleich 2d durchzuführen.
Seb
|
Profil
|
SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.4, eingetragen 2003-10-13
|
Hallo, cryptonomicon!
Du nutzt die Monotonie der e-Funktion aus.
Sei (x,y) aus einem Rechteck R um (0\|0), d.h.
abs(x)<=a>0 und abs (y)<=b>0 .
Wegen der Monotonie der \ee\Funktion gilt:
0
|
Profil
|
cryptonomicon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-13
|
@seb: vielen dank! deine erklärung ist echt klasse. das versuche ich jetzt mal auf mein zweites beispiel anzuwenden, das da wäre:
f(x,y) = y^2*sin(x^2)
f` = 2y*sin(x^2)
sin(x^2) ist beschränkt, das sehe ich ein.
jetzt also noch y in abhängigkeit von x. setz ich x fest (z.b. x=1 - darf ich das?), dann ist doch 2y*1 unbeschränkt?
@schubi: dir auch ein dickes danke schön 
das war sehr anschaulich.
nette grüße,
cryptonomicon
|
Profil
|
cryptonomicon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-13
|
ha, noch was vergessen:
@schubi: und wenn ich dann die funktion im vertikalen streifen untersuche, lasse ich dann a, bzw. b gegen unendlich laufen und schau, ob der funktionswert dann auch unendlich ist?
|
Profil
|
SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-10-13
|
@cryptonomicon!
Genau das muß dann passieren. U.U. mußt du allerdings den Grenzwert für a bzw b gegen -oo betrachten, d.h. hängt auch vom Monotonieverhalten deiner Funktion ab. 
|
Profil
|
cryptonomicon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-13
|
sehr schön
dann noch eben ein drittes beispiel:
f(x,y) = |y|
betragsfunktion abgeleitet ist doch konstant? müsste also immer beschränkt sein?
anderer weg: monotonieverhalten der betragsfunktion?
hmmmmmmmmmmmmmm
|
Profil
|
cryptonomicon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-13
|
also ganz formal:
((abs(y_1)-abs(y_2))/abs(y_1-y_2) <= K
weil
abs(y_1)-abs(y_2) <= abs(y_1-y_2)
also ist die betragsfunktion lipschitzbeschränkt.
ist das jetzt korrekt?
[ Nachricht wurde editiert von cryptonomicon am 2003-10-13 15:30 ]
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
