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  Differenzierbarkeit für eine Funktion : R^2 --> R |
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cryptoworm
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2002
Mitteilungen: 252
Wohnort: Österreich
 |  Themenstart: 2003-11-02
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Sei f(x,y) = fdef((x^2+y^2)*sin(1/sqrt(x^2+y^2)),(x,y)!=(0,0);0,(x,y)=(0,0))
Zu zeigen ist: f ist in (0,0) differenzierbar, die partiellen Ableitungen von f
sind in einer Umgebung von (0,0) beschränkt und in (0,0) nicht stetig.
Sei f(x,y) = fdef(xy/(x^2+y^2),(x,y)!=(0,0);0,(x,y)=(0,0))
Zu zeigen: f besitzt partielle Ableitungen. Diese sind im Nullpunkt nicht stetig.
f ist im Nullpunkt differenzierbar.
Hab jetzt keine (gute) Idee das Ganze anzugehen, nur eine Reihe
von Definitionen, mit denen ich nicht so ganz weiterkomm.
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 Profil
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-02
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Hallo, Cryptoworm!
Hast du schon die Links zu deiner Frage Stetigkeit im mehrdimensionalen vom 18.10. durchgearbeitet? Darin sollten genug Hinweise zu finden sein. Has(s)t du die mehrdimensionale Stetigkeit verstanden oder sind noch Fragen offen, denn der Thread ist noch nicht abgehakt. (Das Abhaken bzw. "Fragen stellen" gehört auch zur aktiven Mitarbeit, immerhin hat mich die Beantwortung deiner Frage auch einige Zeit gekostet.)
Falls du mit etwas nicht zurecht kommst, dann poste die Frage mit deiner dazu gehörigen Rechnung. 
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-02 10:55 ]
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Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46941
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-11-02
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Hi cryptoworm,
ich frag mich, ob die Definitionen, die du hast,
zweckmäßig sind.
Zu deinem zweiten Beispiel:
f ist im Nullpunkt nicht stetig (für x=y¹0 ist
nämlich F(x,y)=1/2). Und dann soll f in (0,0)
differenzierbar sein?
Bei der gängigen Definition von Differenzierbarkeit
folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit.
Differenzierbarkeit ist eben mehr als nur die
Existenz von partiellen Ableitungen, da hat man euch
vielleicht was Falsches erzählt (oder, freundlicher
ausgedrückt, eine unzweckmäßige Definition getroffen).
f:R2 heißt im Punkt (x0,y0) differenzierbar,
wenn es Zahlen a und b gibt (sie heißen partielle
Ableitungen von f nach x bzw. y), so daß
lim((x,y)\-\-\-\>(x_0,y_0);(x,y)<>(x_0\.,y_0),abs(f(x,y)-f(x_0,y_0)-a*(x-x_0)-b*(y-y_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)) = 0
gilt. Das ist mehr verlangt, als wenn man nur
Grenzwerte bei konstantem x=x0 (liefert b)
und bei konstantem y=y0 (liefert a) betrachtet.
Geometrisch gesprochen, bedeutet die Existenz partieller
Ableitungen nur die Existenz von Tangenten an die Fläche
z = f(x,y) im Punkt (x0,y0), die zur x-z-Ebene
bzw. zur y-z-Ebene parallel sind.
Während die Definition, die ich hier angab (und das
ist die übliche), fordert, daß die Fläche eine
Tangentialebene besitzt, die im Punkt (x0,y0,f(x0,y0))
berührt.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2003-11-02 11:53 ]
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