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Universität/Hochschule lineare Abbildung
Eschmeier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-06-09


Und nochmal Analysis II:

a) Sei A: IR^n -> IR^n eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie:
A ist bijektiv <=> inf{ ||Ax||; x Î IR^n mit ||x|| = 1 } > 0.

b) Seien U Ì IR^n offen, y Î U und f: U -> IR^n eine Abbildung, die im Punkt y diff'bar ist.
Zeigen Sie:
Ist Df(y) bijektiv, so gibt es eine offene Umgebung V Ì U von y so, dass f(x) ¹ f(y) für alle x Î V mit x @ y gilt.



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Eschmeier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-09


Könnt ihr mir nicht bei meinen Aufgaben helfen? Dafür verspreche ich euch auch hoch und heilig, daß ich euch hier beim Lösen der anderen Aufgaben helfen werde, sobald ich Semesterferien habe (momentan ist das nur ein bißchen stressig). Biiiiiiiitte!!!!!!!!!!!! Bin total verzweifelt. Ohne die Punkte werde ich nämlich nicht zur Klausur zugelassen.



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Siah
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-06-09


Ganz im ernst: Ich würd ja gern, aber ganz so weit bin ich noch nicht...*g*

Gruss Siah



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Eschmeier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-09


Das ist aber schon mal aufbauend. Allein der Wille zählt! Auch wenn's mich momentan nicht weiterbringt :-)



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Eschmeier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-09


Also ich hab' gleich schon am Anfang Probleme. Ist das gesuchte Infimum nicht immer größer Null, weil II Ax II doch immer größer Null ist, oder sehe ich das falsch?



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blauklaus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2002-06-09


ich hab leider nicht mehr viel zeit, was jetzt kommt muss reichen

also zu a.

A ist bijektiv =>

||A^{-1}||£||A^{-1}|| ||x||

=> für ||x||=1 gilt

||Ax||³1/||A^{-1}|| ||x||
=1/||A^{-1}|| >0

also folgt auch die aussage über das infimum

A sei nicht bijektiv => A ist nicht injektiv =>

d.h es gibt ein x mit ||x||=1 und Ax=0

also ist das Infimum Null.


zu b.

man nehme an die behauptung gelte nicht, dann
existiert eine folge x_n->y mit f(x_n)=f(y)

Taylorformel liefert

f(x_n)=f(y)+Df(y)(x_n-y)+o(||x_n-y||)

=>

Df(y)(x_n-y)/||x_n-y||=-o(||x_n-y||)/||x_n-y||

die linke seite konverigert gegen null, also muss
gelten inf(||Df(y)z||:||z||=1)=0. nach a. ist Df(y)
also nicht bijektiv.

gruss b.

 



[ Nachricht wurde editiert von blauklaus am 2002-06-09 23:14 ]



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Eschmeier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-09


Danke! Natürlich! Jetzt wird mir eineiges klar. ich hatte übersehen, daß das Infimum auch gleich Null sein kann. Nochmal danke



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