Mit Blick auf diesen möchte ich zu meinem obigen Kommentar noch hinzufügen, dass eine oft übersehene Schwierigkeit bei dem ganzen Beweis darin besteht (drum rolls …), dass eine natürliche Zahl $n>1$ überhaupt einen Primfaktor $q$ besitzt. Das müsste man hier also als allererstes einmal zeigen! 😎