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Universität/Hochschule Lineare Abbildungen
timbub
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-06-16


Welche dieser Abbildungen sind linear!?

a)  R² -> R²  mit f(x1,x2) := ( |x2|, x1)

b) Pk(R) ->R  mit f(P):=P(1)
wobei Pk(R) die Menge aller reellen Polynome vom Grad höchstens k bedeutet

c) R^n -> R^n  mit f(x1,x2,...,xn) := (0,x1,...,xn-1)


wie bestimme ich jeweils ker(f)!?

thx Tim.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-06-16


Hallo, Timbub!

Die Linearitaet kannst Du doch durch einfaches Nachrechnen ueberpruefen.
Ich werde Dir ein paar Hinweise geben.

Definition
Es seien V1, V2 Vektorraeume ueber einem Koerper K. Dann heisst eine Abbildung f:V1 -> V2 linear, wenn gilt:

(1) Fuer alle v, v' Î V1 gilt f(v+v') = f(v) + f(v'), und
(2) Fuer alle l aus K und alle v aus V gilt f(lv) = l f(v).

Nun zu den Hinweisen:
Zu a): Ueberpruefe (1) fuer v := (0, 1), v' := (0, -1).
Zu b): Deine Urbilder sind von der Form p = akxk + ak-1xk-1 + ... + a1x + a0, wobei ai Î IR fuer i Î {0, ..., k}. (Es ist auch ak = 0 erlaubt.)
Weiterhin ist dann fuer so ein p Î Pk(IR): f(p) = ak + ak-1 + ... + a1 + a0.
Und nun rechnest Du einfach nach, dass (1) und (2) erfuellt sind.
Zu c): Diese Aufgabe ueberlasse ich ganz Dir. Sie ist auch nicht schwieriger als die ersten beiden.


Richtig nuetzlich ist die Bestimmung des Kerns aus meiner Sicht eigentlich nur, wenn die betrachtete Abbildung schon linear ist. Aber formal kannst Du natuerlich unabhaengig davon den Kern bestimmen.
Die Frage ist eben, welche Vektoren des ersten Vektorraums auf die Null des zweiten Vektorraums abgebildet werden. Du musst also jeweils die Gleichung f(v) = 0 untersuchen und herausfinden, welche Eigenschaften v dann hat.

Exemplarisch fuer a):
Es sei (x1, x2) Î IR2 mit f((x1, x2)) = (0, 0). Dann gilt also (|x2|, x1) = (0, 0). Zwei Paare sind gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, also gilt:
|x2| = 0, und x1 = 0. Naja, und |x2| = 0 gilt genau dann, wenn x2 = 0 ist. Also folgt x1 = 0 und x2 = 0.
Dann ist also Kern f = {(0, 0)}.
Den Rest ueberlasse ich auch wieder Dir.


Wenn Du nicht weiterkommst, kannst Du natuerlich nochmal nachfragen. Dann bitte mit genauer Beschreibung, an welcher Stelle Du haengst.

Gruss, E.



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timbub
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-17


danke für deine antwort! habe jetzt fast alles gelöst...

nur eine frage noch:
ist das hier auch linear!?

R^3 -> R  mit f(x1,x,2,x3) := 3.Wurzel aus ( x1² + x2² + x3² )
wie wäre der Kern?!

bin da irgendwie beim rechnen hängen geblieben

thx Tim



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-06-17


Hi timbub,

es ist nicht linear. Finde ein Gegenbeispiel, z.B. eines, wo nicht gilt:

  f(x+y) = f(x)+f(y)

Übrigens: die Bezeichnung linear darfst Du ohne weiteres mit Geraden assoziieren. Wenn eine Funktion anderes als Konstanten und Terme in x (Potenz 1) enthält, dann ist sie nicht linear.

Gruß
Matroid



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