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Integration » Lebesgue-Integral » Lebesgue Riemann Integral Unterschied
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Universität/Hochschule J Lebesgue Riemann Integral Unterschied
vlitzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2010-04-15


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de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral#Riemann-_und_Lebesgue-Integral

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[ Nachricht wurde editiert von vlitzi am 15.04.2010 16:47:40 ]
EDIT by Redfrettchen: Link repariert
[ Nachricht wurde editiert von Redfrettchen am 15.04.2010 21:31:05 ]



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Redfrettchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2010-04-15

\(\begingroup\)
Hallo,
das Riemann-Integral ist erst einmal nur für beschränkte Funktionen auf kompakten Intervallen erklärt.

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Grüße,
Thomas



[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lebesgue-Integral' von Redfrettchen]
\(\endgroup\)


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vlitzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15


hi Redfrettchen,

dann wäre doch aber die abbildung in wikipedia falsch, da sie die rechtecke nicht richtig darstellt.

weil genau an dem bild hab ich mich aufgehangen und bin, wenn ich mir die defs speziell der einfachen funktionen und der treppenfunktionen angeschaut habe zu dem ergebnis gekommen, dass sie in diesem einem speziellen fall, also so wie auf dem bild in wikipedia, gleich sind und damit, trotz dass ich beim lebesgue das "ordinatenintervall" heranziehe, die vielen kleinen summen die ich da bilde (wie gesagt ich beziehe mich jetzt nur auf das bild von wikipedia), dass dann diese summen zumindest nicht so aussehen wie das rote in wikipedia, sondern dass die flächenstreifen jeweils, also je nach zerlegung, vertikal, so wie beim riemann integral sind. deswegen wollte ich hier nochmal genauer nachfragen.

also sind einfache funktionen eine art verallgemeinerung von treppenfunktionen und in diesem einen falle in etwa gleich, zumindest anschaulich ?

und sorry für die schachtelsätze =/

gruß

vlitzi



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Redfrettchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2010-04-15


Du hast recht, das Bild im Wikipedia-Artikel gibt das ganze nicht gut/falsch wieder. Lustigerweise steht in der Beschreibung des Bildes:

I am not sure how to edit on Wikipedia, but from what I know of Lebesgue integration, this image should be changed/removed ASAP since the lower (red) drawing is false/misleading.
Es sollte vielmehr so aussehen:
Bild
wobei die Rechtecke gleicher Farbintensität zum gleichen Summanden gehören. Es sieht ähnlich aus wie das Bild zum Riemann-Integral, weil die Funktion nun einmal stückweise monoton ist. Aber man sieht, dass die Intervalle nicht gleich groß sind, und mit mehr Farbeinsatz wird auch deutlich, welche Mengen zusammengehören.

Richtig, elementare Funktionen sind eine Verallgemeinerung von Treppenfunktionen, eben statt nur für Intervalle für alle messbaren Mengen. Für stückweise monotone Funktionen sind die messbaren Mengen allerdings Vereinigungen von Intervallen, womit man wieder bei Treppenfunktionen ist.

[ Nachricht wurde editiert von Redfrettchen am 15.04.2010 22:46:04 ]



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NoOne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2010-04-15


Ich glaube um die Lebesguesche Integrationstheorie richtig zu verstehen sollte man sich erst einmal gründlich die Grundlagen der Maßtheorie aneignen.
Anfangs hatte ich auch so meine Probleme aber nach und nach habe ich mehr verstanden und wichtig ist es sich auch alle Begrifflichkeiten klar zu machen.
Google einfach nach einem Maßtheorie Skript. Mir hat das sehr geholfen!



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vlitzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15


Sehr fein. Habt mir mal wieder weitergeholfen.

Und ja ich kenne ziemlich viel Maßtheorie, also ich hab zumindest nen ganzes ANA 3 skript schon durch, nur bin ich halt nicht so gut in ana und mache es nur zwangsweise, von daher verstehe ich das ein oder andere noch nicht.

zum beispiel kann ich die sigma-algebren noch nicht richtig einordnen, die eigenschaften machen für mich irgendwie keinen sinn. oberflächlich weiss ich halt jetzt nur dass wenn eine menge messbar ist, dass man auf ihr mit einer geeigneten funktion ein lebesgue integral bilden kann. aber wieso mir da gerade die messbaren mengen einer sigma algbra mit gerade diesen eigenschaften helfen, also abgeschlossenheit bzgl endlicher vereinigung, durchschnitt und komplementbildung...

und ja mist. die abbildung hatte eine beschreibung =) hätt ich das vorher gewusst...



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