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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » anfangswertproblem
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Kein bestimmter Bereich J anfangswertproblem
nochkeinmatheass
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.04.2002
Mitteilungen: 43
Aus: Berlin - Charlottenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-06-26


moin nochmal!

folgende aufgabe:

lösen sie die differentialgleichung

y'=(x-4xy):(x^2+1)

ich habe folgendes heraus:

y(x)=ln(x^2+1)*(½x-c*e^x)

so, anfangswert y(1)=1 ist gegeben und ich habe das ganze einfach nach c umgestellt und somit:

y(x)=ln(x^2+1)*(½x-0,35e^x) herausbekommen. ist das so korrekt?


danke&gruss,
nkma



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Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 7933
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-06-27


Hallo NKMA,

wie kommst Du auf Dein Ergebnis?

Du kannst selbst feststellen, ob es richtig ist:

Nimm Dein Ergebnis y(x) ohne Randbedingung, bilde y'(x), setze das zusammen mit y(x)  in die ursprünglichen DGL und vegleiche linke mit rechter Seite Deiner DGL.

Was stellst Du fest?

Halt uns auf dem Laufenden

Gruss



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Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 7933
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-06-28


Hallo NKMA

Stille?

Ich gehe mal davon aus, daß ich Deine Schreibweise nicht missinterpretiere, aber Du hast mittlerweile festgestellt, daß Deine Lösung nicht stimmen kann, oder?

Eine Lösungsweg ist der über den "integrierenden Faktor":

Die DGL ist offenbar von der Form

y' + f(x)*y = g(x)

Integrierender Faktor ist

M(x) := e^(Integral(f(x) dx))

und die Lösung lautet

y(x) = (1/M(x)) * (Integral(g(x)*M(x) dx) + c)

Wenn Du das anwendest, lautet die Lösung (ohne Randbedingung) explizit:

y(x) = ((x^2)/2 + (x^4)/4 + c) / ((1+x^2)^2)

und die Konstante c erhälst Du über die Randbedingung.

Überprüf diese Lösung analog zu oben, und rechne nach, ja ?

Melde Dich bei Problemen

Gruss



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LutzL
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Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Aus: Berlin-Mahlsdorf
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-06-28


Hi,

zu kompliziert

Wenn man mal die Analyse von verschwindenden Nennern immer mitdenkt, dann liefert Trennung der Variablen

4y'/(1-4y) = 2  2x/( 1+x ² )

Nach Integration

- ln|1-4y|  = c + 2 ln| 1+x ² |

Mit der ueblichen Argumentation beim Exponieren von Konstanten

1-4y = C/( 1+x ² ) ²

usw.

Die Loesung y=1/4 waere gesondert zu betrachten, ist aber mit C=0 schon enthalten.

Ciao Lutz



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Spock
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Dabei seit: 25.04.2002
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Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2002-06-28


@Lutzl: "Zu Kompliziert" ist ein relativer Begriff.

"Integrierender Faktor" charakterisiert ein allgemein verwendetes Lösungsverfahren und beinhaltet "Trennung der Variablen"

Meinst Du nicht, die "Immer mitdenkende Analyse von verschwindenden Nennern", in Verbindung mit der "ueblichen Argumentation beim Exponieren von Konstanten" wäre, "gesondert betrachtet" zu kompliziert, obwohl C = 0 schon enthalten ist, "usw."?

Im übrigen ist Dein Lösungsweg in meinem enthalten, oder? Du hast lediglich für diese spezielle DGL nochmal die Details aufgeschrieben. Nur meine Idee war, daß NKMA das alles nachvollzieht/nachrechnet, schade...

In diesem Sinne

Gruss



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nochkeinmatheass
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Dabei seit: 27.04.2002
Mitteilungen: 43
Aus: Berlin - Charlottenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-28


hallo ihr beiden!

danke erst einmal! obwohl ich es doch noch nicht so ganz verstanden habe. ihr müsst euch vorstellen, dass ich mit dem "kram" seit jahren nichts zu tun hatte und eigentlich keine ahnung habe/hatte. insofern beschäftige ich mich in jedem fall mit euren atnworten und rechne nach, ob ihr mir details mitteilt oder nicht. also keine sorge, dass ich nur abschreibe...

schö' abend noch!


gruss,
nkma



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