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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » anfangswertproblem
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Kein bestimmter Bereich J anfangswertproblem
nochkeinmatheass
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-06-26


moin nochmal!

folgende aufgabe:

lösen sie die differentialgleichung

y'=(x-4xy):(x^2+1)

ich habe folgendes heraus:

y(x)=ln(x^2+1)*(½x-c*e^x)

so, anfangswert y(1)=1 ist gegeben und ich habe das ganze einfach nach c umgestellt und somit:

y(x)=ln(x^2+1)*(½x-0,35e^x) herausbekommen. ist das so korrekt?


danke&gruss,
nkma



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-06-27


Hallo NKMA,

wie kommst Du auf Dein Ergebnis?

Du kannst selbst feststellen, ob es richtig ist:

Nimm Dein Ergebnis y(x) ohne Randbedingung, bilde y'(x), setze das zusammen mit y(x)  in die ursprünglichen DGL und vegleiche linke mit rechter Seite Deiner DGL.

Was stellst Du fest?

Halt uns auf dem Laufenden

Gruss



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-06-28


Hallo NKMA

Stille?

Ich gehe mal davon aus, daß ich Deine Schreibweise nicht missinterpretiere, aber Du hast mittlerweile festgestellt, daß Deine Lösung nicht stimmen kann, oder?

Eine Lösungsweg ist der über den "integrierenden Faktor":

Die DGL ist offenbar von der Form

y' + f(x)*y = g(x)

Integrierender Faktor ist

M(x) := e^(Integral(f(x) dx))

und die Lösung lautet

y(x) = (1/M(x)) * (Integral(g(x)*M(x) dx) + c)

Wenn Du das anwendest, lautet die Lösung (ohne Randbedingung) explizit:

y(x) = ((x^2)/2 + (x^4)/4 + c) / ((1+x^2)^2)

und die Konstante c erhälst Du über die Randbedingung.

Überprüf diese Lösung analog zu oben, und rechne nach, ja ?

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Gruss



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LutzL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-06-28


Hi,

zu kompliziert

Wenn man mal die Analyse von verschwindenden Nennern immer mitdenkt, dann liefert Trennung der Variablen

4y'/(1-4y) = 2  2x/( 1+x ² )

Nach Integration

- ln|1-4y|  = c + 2 ln| 1+x ² |

Mit der ueblichen Argumentation beim Exponieren von Konstanten

1-4y = C/( 1+x ² ) ²

usw.

Die Loesung y=1/4 waere gesondert zu betrachten, ist aber mit C=0 schon enthalten.

Ciao Lutz



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2002-06-28


@Lutzl: "Zu Kompliziert" ist ein relativer Begriff.

"Integrierender Faktor" charakterisiert ein allgemein verwendetes Lösungsverfahren und beinhaltet "Trennung der Variablen"

Meinst Du nicht, die "Immer mitdenkende Analyse von verschwindenden Nennern", in Verbindung mit der "ueblichen Argumentation beim Exponieren von Konstanten" wäre, "gesondert betrachtet" zu kompliziert, obwohl C = 0 schon enthalten ist, "usw."?

Im übrigen ist Dein Lösungsweg in meinem enthalten, oder? Du hast lediglich für diese spezielle DGL nochmal die Details aufgeschrieben. Nur meine Idee war, daß NKMA das alles nachvollzieht/nachrechnet, schade...

In diesem Sinne

Gruss



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nochkeinmatheass
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-28


hallo ihr beiden!

danke erst einmal! obwohl ich es doch noch nicht so ganz verstanden habe. ihr müsst euch vorstellen, dass ich mit dem "kram" seit jahren nichts zu tun hatte und eigentlich keine ahnung habe/hatte. insofern beschäftige ich mich in jedem fall mit euren atnworten und rechne nach, ob ihr mir details mitteilt oder nicht. also keine sorge, dass ich nur abschreibe...

schö' abend noch!


gruss,
nkma



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