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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante und Signum
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Autor
Universität/Hochschule J Determinante und Signum
Potus
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.12.2008
Mitteilungen: 212
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2010-06-17


Hallo!

Ich habe folgende Verständnisfrage:

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owk
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.01.2007
Mitteilungen: 6957
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2010-06-17


Hallo. Wenn Du keine Betragsstriche haben willst, musst Du \det schreiben. Der Satz ergibt für mich auch keinen Sinn. owk



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46023
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2010-06-17


Hi Potus,
Permutationen und die Matrizen, die sie darstellen, sind mathematische Objekte, die man völlig eigenständig untersuchen kann, und viele Forumthemen befassen sich damit.

Es gibt überhaupt keinen Grund, bei diesen Untersuchungen irgendeinen wie auch immer gearteten Körper ins Spiel zu bringen, der würde nur stören, denn die Problematik gehört ausschließlich zur Gruppentheorie, und teilweise (wegen der Matrizen) zur linearen Algebra (insofern braucht man doch einen Körper, aber den hat man ja: den Körper der rationalen Zahlen, und damit kann man zufrieden sein).

Nun hast du aber anscheinend irgendeine andere Problemstellung, bei der nicht nur Permutationen wichtig sind, sondern auch ein gewisser Körper.

Dann teile doch diese Problemstellung einfach mal mit, denn aus deinem Startbeitrag ist das nicht erkennbar.
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 17.06.2010 20:34:05 ]



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Potus
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.12.2008
Mitteilungen: 212
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-17


Diese Aussage war eine Bemerkung zum Beweis der Leibniz Formel für die Determinante.
Und im letzten Beweisschritt haben wir verwendet, dass
det(P_sigma)=sgn(sigma) ist.
Und dann folgt diese Bemerkung:
"Wenn man genau hinschaut, so haben wir einen zweiten Beweis für die Existenz des Vorzeichens von Permutationen geführt. Es gilt ja
sgn(sigma)=det(P_sigma)
(Fast: die linke Seite hat Werte in +-1 element IZ, die rechte +-1 element k. Falls 0 ungleich 2 in k, so kann dies aber identifiziert werden. Falls 0=2 in k, so gilt die Gleichung in k, aber eben nicht in IZ.) Für den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit haben wir das Vorzeichen der Permutation nicht gebraucht - nur den Vorzeichenwechsel unter Transpositionen."



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46023
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2010-06-17


2010-06-17 21:54 - Potus in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Aussage war eine Bemerkung zum Beweis ...
Falls 0=2 in k, so
1. ... gilt die Gleichung in k,
2. ... aber eben nicht in IZ.
Hi Potus,
1. In Ordnung, darüber gibt wohl keinen Zweifel.
2. Da komme ich nicht mit. Wie soll denn das gemeint sein?
Ich kann beide Seiten der Gleichung in Z ausrechnen.
Natürlich muß ich das auch wirklich tun, ich kann mich nicht damit herausreden, daß ich jetzt gerade in irgendeinem komischen Körper k arbeiten will.
Und dann kommt natürlich dasselbe heraus, also entweder die Gleichung 1 = 1 oder die Gleichung -1 = -1.
Ich schlage vor, über diese Bemerkung nicht weiter nachzudenken, es ist wahrscheinlich damit folgendes gemeint:
Im Fall 2 = 0 gibt es überhaupt keine Gleichung in Z, die man aufstellen könnte, weil man die Zahl ±1 auf der rechten Seite, die ein Körperelement ist, nicht mit den ganzen Zahlen ±1 identifizieren kann, denn als Körperelemente sind sie ja gleich.
Die Formulierung "die Gleichung ist in Z falsch" ist daher unglücklich. Wenn man auf der Auffassung besteht, daß det(Pσ) ein Körperelement sein soll, dann ist es in Wirklichkeit so, daß es überhaupt keine Gleichung in Z gibt, die richtig oder falsch sein könnte.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 17.06.2010 22:35:16 ]



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owk
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.01.2007
Mitteilungen: 6957
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2010-06-17


det(Pσ) ist ein Element von k, sgn(σ) ist ein Element von Z. Für jeden Ring k gibt es genau einen Ringhomomorphismus h: Z → k, und den verwendet man, um implizit sgn(σ) als Element von k aufzufassen, also lautet die Gleichung strenggenommen det(Pσ) = h(sgn(σ)). In dieser Form gilt das unabhängig von der Charakteristik des Körpers, und so wird es im Beweis auch benutzt.

Dass man die Abbildung h aus dem ersten Absatz nicht notiert, hängt auch damit zusammen, dass man sie suggestiv als h(n) = n·1 schreiben kann. Dabei ist 1 die Eins des Körpers, und der Malpunkt ist die induktiv definierte Operation n·a wie in jeder additiv geschriebenen Gruppe (analog zu Potenzen an in multiplikativ geschriebenen Gruppen), nicht die Körpermultiplikation.

Falls die Charakteristik nicht 2 ist, könnte man auch eine Abbildung h' einführen, die die Teilmenge {±1} ⊂ k auf {±1} ⊂ Z abbildet, dann wäre auch h'(det(Pσ)) = sgn(σ). Darauf bezieht sich der Satz, davon würde ich strikt abraten. owk


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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