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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie - ganze Funktion
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Universität/Hochschule Funktionentheorie - ganze Funktion
lucy123
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.11.2010
Mitteilungen: 17
  Themenstart: 2010-11-22

Hallo, ich bin dabei folgende aufgabe zu bearbeiten: Sei f eine ganze Funktion. Für jede komplexe Folge (zn) mit  lim(z->\inf,abs(z_n)) =  \inf gelte lim(z->\inf,f(z_n)/z_n) = 0. Zeigen Sie, dass f konstant ist. Ich wollte auf folgender weise beginnen. f ist ganze funktion also holomorph auf ganz \IC. anch dem kleinen satz von picard gilt fuer jede nicht-konstante ganze funktion g, dass g jeden wert in \IC annimmt, mit hoechstens einer ausnahme. setze also g(z)= (f(z)-a)/(a-b) mit a!=b und f(z)!=b. dann ist g(z)!=1 und 0 also konstant. da g nun konstant und f(z)= g(z)(a-b)+a nach umformen ist. Also ist f beschraenkt und somit nach satz von liuville konstant\ Ich danke allen fuer eine korrektur oder kommentare Viele Gruesse Lucy [ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 22.11.2010 22:35:03 ] [ Nachricht wurde editiert von lucy123 am 22.11.2010 22:41:19 ]


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Peregrin_Tooc
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  Beitrag No.1, eingetragen 2010-11-22

Hallo Lucy, leider ist deine Aufgabenstellung verunglückt. Bitte korrigier die doch, dann wird auch der Rest verständlicher. Änderung: Jetzt ist er ganz weg :D [ Nachricht wurde editiert von Peregrin_Tooc am 22.11.2010 22:21:25 ]


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SchuBi
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  Beitrag No.2, eingetragen 2010-11-22

Hallo, Lucy! \quoteon(2010-11-22 22:08 - lucy123 im Themenstart) \ [ Nachricht wurde editiert von lucy123 am 22.11.2010 22:20:50 ] \quoteoff Was soll dieser Beitrag?


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stefan69
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  Beitrag No.3, eingetragen 2010-11-22

Hallo lucy123, in deiner Argumentation kann g sehr wohl den Wert Null annehmen. Und es gibt auch ganze Funktionen, die jeden Wert annehmen. Glaube aber auch, dass dieser Satz von Picard ein zu schweres Geschuetz ist. Vielleicht solltest Du es mal mit der Koeffizientenabschätzung von  Cauchy fuer die zugehoerige Potenzreihe versuchen. Gruss stefan


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lucy123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-22

Danke fuer die Korrektuer der Aufgabenstellung und danke fuer die Antwort. fuer die entsprechende Poetenzreihen darstellung brauch ich noch einen Tip. Wenn ich z.B. die Potenzreihe des sinus nehme, dann kann ich fn(z)=sum((-1)^k(z^(2k+1))/(2k+1)!),k=1,\inf schreiben, dann waere an=(-1)^k/(2k+1)! und lim(n->\inf,z^(2k+1))=\inf. Kann ich dann zn=z^(2k+1)? (in diesem Spezialfall?) Oder ist das zu abentheuerlich? Danke Gruss lucy [ Nachricht wurde editiert von lucy123 am 22.11.2010 23:25:12 ] [ Nachricht wurde editiert von lucy123 am 22.11.2010 23:47:02 ]


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owk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2010-11-22

Hallo. Wende den Hebbarkeitssatz auf g(z) = zf(1/z) an. owk


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lucy123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-23

Koennte der Beweis dann folgendermassen aussehen? f ganze funkion, also holomorph auf \IC, \alpha\el\ \IC und R=sup(menge(r>0|kR(\alpha)\subset\ \IC))\el\ \IR+ OHNE 0. Also ist f in eine Potenzreihe entwickelbar mit f(z)=sum(an(z-\alpha)^k,k=1,\inf ). Mit konvergenzradius \inf Setze \alpha=0 Fuer die Koeffizienten an gilt dann abs(an)<=r^(-n)(max(menge(f(z)|abs(z-\alpha)=r)<=M also lim(n->\inf, (sum((an(z-\alpha)^k)/(zn)),k=1,n ))<=lim(n->\inf M(sum(z^(k)/zn,k=1,n )))=0 nach voraussetzung. Sei n=1 dann ist lim(n->\inf, M(sum(z^(k)/zn,k=1,n )))=0 genauso wenn n=0. Also hat f grad 0 oder 1 und ist somit konstant. Danke an alle fuer korrektur, tips hinweise


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LutzL
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  Beitrag No.7, eingetragen 2010-11-23

Hi, Du musst den letzten Beitrag noch umfänglich reparieren, nicht nur was fed-Makros angeht. Wieso sollte in der Abschätzung des Maximums Null herauskommen? Wie soll der Übergang vom punktweisen zum gleichmäßigen Grenzwert funktionieren? Ansonsten wurde schon angedeutet, dass die Bedingung einen Pol erster Ordnung bei oo ergibt, was den Grad der Potenzreihe auf 1 festlegt, und dann in genauerer Betrachtung auch den linearen Koeffizienten. Ciao Lutz


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