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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Fourierreihe bei Periode ungleich 2pi
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Universität/Hochschule J Fourierreihe bei Periode ungleich 2pi
ph4nt0m
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  Themenstart: 2011-03-08

Hallo, mir ist das Vorgehen zur Ermittlung der Fourierreihe (bzw. der Koeffizienten) einer 2pi-periodischen Funktion klar. Was muss man aber tun, wenn die Periode ungleich 2pi ist? In einem Beispiel ging es konkret um folgende Funktion f: \ f(x)=x(\pi -x) für 0<=x<=\pi und die Koeffizienten wurden dann mit folgendem Ansatz ausgerechnet: \ \lr(1) a_k = 2/\pi*int(x(\pi -x)cos(kx),x,0,\pi) Aus einem Wikipedia-Artikel habe ich aber diese Formel gefunden: \ a_k = 2/T *int(f(x)cos(k \omega x),x,c,c+T), wobei T die Periode ist und \omega=2\pi/T welche aber dann zu folgenden Koeffizienten führen würde: \ \lr(2) a_k = 2/\pi*int(x(\pi -x)cos(2kx),x,0,\pi) (1) und (2) unterscheiden sich ja nun durch diese 2 als Faktor im Argument des Kosinus'. Wer hat nun recht oder habe ich die Formel einfach falsch verstanden/angewendet? Gruß ph4nt0m


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2011-03-08

\quoteon(2011-03-08 01:39 - ph4nt0m im Themenstart) ... oder habe ich die Formel einfach falsch verstanden/angewendet? \quoteoff Hi ph4nt0m, nein, im Gegenteil. Du bist sehr aufmerksam, gut so. Die Gleichung (1) ist prinzipiell falsch, denn der Vorfaktor 2 / Pi weist darauf hin, daß die Periode Pi ist, und die Funktion cos(kx) paßt dazu nicht, weil sie die Periode 2 Pi / k hat, und das ergibt 2 Pi, wenn k = 1 ist. Bei Fourierreihen ist es ganz wichtig, die Periode anzugeben, und wenn dies nicht geschieht, muß man von der Periode 2 Pi ausgehen. Es kommt oft vor, daß eine Funktion nur über eine Halbperiode definiert wird. Ob das hier auch so ist, kann ich dir nicht sagen, du mußt den Aufgabensteller fragen, ich vermute aber "nein". Die volle Periode bekommt man dann mit der zusätzlichen Forderung, daß die Funktion gerade sein soll oder ungerade. Fazit: Was der Aufgabensteller wirklich wollte, ist klar zu sehen, und er hat nur versehentlich die 2 vergessen, es muß also cos(2kx) heißen. Gruß Buri


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ph4nt0m
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-08

Hallo Buri, in der Hinsicht muss ich den Aufgabensteller in Schutz nehmen, denn es war zusätzlich angegeben, dass f pi-periodisch ist (ich dachte wohl selbst, dass die Angabe des Intervalls ausreicht). Das Problem ist aber, dass in dem Beispiel ohne die 2 weitergerechnet wurde und am Ende offenbar trotzdem das richtige Ergebnis rauskommt confused Zumindest erhalte ich das gleiche, wenn ich mit der anderen Formel rechne: \ \align a_k = 2/\pi*int(x(\pi -x)cos(2kx),x,0,\pi) = stammf((cos(2 k x))/(2 k^2)+(x sin(2 k x))/(k),0,\pi)+ 2/\pi stammf((sin(k x) cos(k x))/(2 k^3)+(x sin^2(k x))/(2 k^2)-(x cos^2(k x))/(2 k^2)-(x^2 sin(k x) cos(k x))/k,0,\pi) = 2/\pi stammf(-(x cos^2(k x))/(2 k^2),0,\pi) = 2/\pi (-(\pi ((-1)^k)^2)/(2 k^2)+(0 cos^2(k 0))/(2 k^2)) = 2/\pi (-(\pi)/(2 k^2)) = -1/k^2 Das ist komischerweise genau das Ergebnis, auf das auch der Aufgabensteller kommt, obwohl er ja ohne die 2 gerechnet hat. Kann das Zufall sein? Am Ende gibt es bei ihm allerdings eine Fallunterscheidung: Für ungerade k ist dort a_k nämlich 0, daher wird k=2n substituiert und genau dadurch steht plötzlich sogar die vermisste 2 im Kosinus confused Gruß ph4nt0m


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2011-03-08

\quoteon(2011-03-08 10:34 - ph4nt0m in Beitrag No. 2) ... Am Ende gibt es bei ihm allerdings eine Fallunterscheidung ... \quoteoff Hi ph4nt0m, eine Pi-periodische Funktion hat natürlich auch die Periode 2 Pi. Folglich kann man das so machen, aber es ist ungewöhnlich und verwirrend. In der Reihe können die Funktionen cos(kx) mit ungeradem k nicht vorkommen, weil sie nicht Pi-periodisch sind. Gruß Buri


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ph4nt0m
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-08

Hallo Buri, danke für deine Erklärung. Schade, dass der Aufgabensteller/-löser das nicht direkt etwas besser erläutert hat. Dann ist es wohl im Allgemeinen besser, mit der Formel zu arbeiten, wie ich sie im ersten Beitrag aus dem Wikipedia-Artikel genannt hatte. Gruß ph4nt0m


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